Математика с дурацкими рисунками. Идеи, которые формируют нашу реальность

2. Три стороны, одна сущность

Психологическая фаза в процессе нашего рассказа! Треугольник должен вглядеться в собственную душу и задаться заветным вопросом: «Кто есмь аз?»

– Я фигура, подобная прочим, ничем не отличимая от них, за исключением количества сторон и углов?

Музыка звучит все громче, и треугольник молит космос о знаке, цели, озарении.

– О, из чего, – он вопиет, – на самом деле создан я?

Глас громовой грохочет из глубин.

– Я создан из трех сторон.

Окей, возможно, здесь нет такого откровения, как в моментах самопостижения. Немного похоже на то, как пациент психотерапевта замечает, что лежит на кушетке. Но здесь есть потаенные бездны. Нам откроется новая истина, если мы увидим в треугольнике не просто цельную фигуру, а совокупность трех частей.

Например: для создания треугольника сгодятся не любые три отрезка. Возьмем длины 10, 3 и 2 см. Эти три отрезка образуют этакую недофигуру с зазором – недотреугольник, если вам угодно. Длинный отрезок слишком длинный; короткие слишком коротки. Я окрещу его «Треугольник Ти-рекс», потому что короткие передние лапки не соответствуют массивному туловищу.

Это универсальная истина: самая длинная сторона треугольника должна быть короче, чем сумма двух других.

Это правило совершенно очевидно для мухи, ползущей по периметру треугольника. Ей известно, что путь напрямик (от A до B) всегда будет короче, чем обходной путь (от A до B, минуя C). Таким образом, сумма двух коротких сторон должна быть больше, чем длина третьей стороны.

У этого правила есть компаньон, даже глубже и могущественнее него: «Если три отрезка все-таки образуют треугольник, то один и только один». Поскольку даны три отрезка, импровизации и выдумки здесь неуместны. Есть всего один шаблон.

Например, договоримся, что длины сторон будут равны конкретным величинам (скажем, 5, 6 и 7 cм), разойдемся по отдельным комнатам и сконструируем наши персональные треугольники. Даю гарантию, что мы выйдем оттуда с одинаковыми изделиями.

Поглядите: я кладу мою самую длинную рейку на пол, приставляю и скрепляю две других. Готово! Скосите угол влево, и одна сторона выскользнет; скосите вправо – выскользнет другая. Математики называют такое решение единственным. Даже не предвосхищая ваш метод, я знаю, что вы придете к тому же решению, так как иных решений нет.

Эта истина верна лишь для треугольников. Ни один другой многоугольник на нее не притязает.

Попробуйте проделать то же самое с четырехугольником – кузеном треугольника. Одну рейку я кладу на пол. Следующие две устанавливаю вертикально. И водружаю последнюю рейку сверху, для надежности склеивая концы скотчем. Однако начинает задувать ветерок. Мой квадрат косится. Вся конструкция кренится вправо, как складной стул. Каждую секунду возникает новая фигура, от «квадрата» и «почти квадрата» до «чего-то вроде ромба» и «тощего сверхзаостренного ромба».

Четыре стороны с конкретными длинами не задают единственную фигуру. Наоборот, они задают бесконечное семейство возможных фигур. Любую из них можно превратить в другую, приложив небольшое усилие.

Итак, мы наблюдаем скрытое волшебство треугольника, его секретную идентичность: не просто трехсторонность, а жесткость, которую она за собой влечет.

Вязальщики египетских узлов знали это превосходство. Натягивая канат с 12 узлами, они вызывали из небытия пифагоров треугольник, выколдовывали из каната прямой угол. Вместо этого можете сделать из каната квадрат, но будьте аккуратны: на ваш клич отзовется целое семейство нежелательных фигур. Даже если натянуть канат потуже, углы четырехугольника не удастся удерживать без сбоев. То же самое верно для пятиугольников, шестиугольников, семиугольников и прочих родичей из семейства многоугольников. Никто не в силах сделать то, что может треугольник.

Пирамиды, будучи объемными фигурами, не обладают этим сильным преимуществом^[51]. Кубы, конусы, усеченные пирамиды^[52] – все они сгодятся для выполнения воли фараона. Шершавому языку камня все равно, какую выговаривать фигуру.

Нет-нет, в мои намерения не входило унижать пирамиды. Да и попробуйте унизить кирпичную махину в девять миллионов тонн. Я восхищен космической точностью этих кирпичей: длины сторон составляют около 20 см, края ориентированы по сторонам света с погрешностью менее 0,1^о, углы отличаются от прямого менее чем на 0,01^о. Да, египетские котики хорошо знали математику.

Но я должен подчеркнуть, что это триумф землемеров, а не инженеров. Великая пирамида остается, по сути дела, нагромождением блоков. Это круто, если вы хотите воздвигнуть монумент фараонову бессмертию, но использовать такое здание в практических целях, знаете ли, не прикольно. Незатейливые камеры и тесные туннели пирамиды составляют менее 0,1 % ее объема. Вообразите сплошной стальной брусок размером с Эмпайр-стейт-билдинг с одним-единственным щелевидным этажом высотой 60 см, и вы тоже начнете стремиться к более эффективному строительному плану^[53].

В последующие века архитекторы будут искать новые поэтические структуры. Они будут строить мосты шире неба и башни выше Вавилонской. И для этого им понадобится фигура необычайной стойкости, обладатель единственного в своем роде непреклонного характера – треугольный, трехсторонний герой.

3. Гибкие стропила обремененного мира

А теперь наша история пересекается с другой – сагой о человеческой архитектуре, охватывающей 10 000 лет. Краткое содержание предыдущих серий:

1. «Снаружи» – плохое место для жизни. Может похолодать, негде хранить ваши вещи, иногда появляются медведи. Поэтому люди изобрели «внутри».

2. Чтобы создать «внутри», сделайте большую полую конструкцию и поселитесь там.

3. Если ваша конструкция уютна и сделана из подходящего материала, то жить внутри будет приятно и она не рухнет вам на голову. Это и называется «архитектура».

Окей, теперь, когда мы вошли в курс дела, я могу представить вам важного вспомогательного персонажа^[54] в истории треугольника – балку. Если вы архитектор, стремящийся избежать (А) пирамидальных монолитов и (Б) обваливающихся потолков, то балки, скорее всего, станут важным фактором в процессе создания ваших конструкций.

Полезное действие балки заключается в том, что она превращает вертикальные силы в горизонтальные^[55]. Например, представьте себе доску, перекинутую через ров. Когда вы встанете на эту доску, ваш вес потянет ее вниз. Но настоящая опора не внизу – она на концах доски, где та упирается в землю. Сила, приложенная в центре, распределяется вдоль доски.

Есть лишь одна проблема: балки неэффективны.

Архитектура, как и сама жизнь, вся строится на управлении напряжением. В то время как жизнь напрягает нас разнообразно (дедлайны, воспитание детей, разряжающийся телефон и т. д.), строительная конструкция испытывает всего два вида напряжений: растяжение и сжатие. Растяжение удлиняет объект, сжатие – укорачивает. Каждый вид напряжения имеет свои особенности, и разные материалы выдерживают их по-разному. Бетон может выдерживать фантастические степени сжатия, но при растяжении крошится. С другой стороны, стальные тросы могут выдержать невероятное растяжение, но прогибаются при малейшем сжатии.

А теперь представьте, что балка проседает под нагрузкой. Она выгибается в улыбку (или скорее гримасу). Какова природа этой деформации – растяжение или сжатие?

Ответ: и то и другое. Посмотрите на верхнюю часть балки: она становится короче нижней; так бегун на той круговой дорожке, что ближе всего к центру стадиона, преодолевает наименьшее расстояние. Таким образом, ее материал подвергается сжатию. Теперь взгляните вниз; вспомните, что бегун на самой дальней дорожке от центра преодолевает наибольшее расстояние; так и нижняя часть балки становится длиннее верхней части, и, таким образом, ее материал испытывает растяжение.

Все еще не о чем тревожиться: многие материалы, такие как дерево, легко выдерживают и растяжение, и сжатие. Проблема не в том, что на балку действует два вида напряжения; проблема в том, что бóльшая часть балки не испытывает никакого напряжения.

Посмотрите на центральную часть балки. На полпути между сжатием наверху и растяжением внизу средняя часть балки не испытывает абсолютно никакого напряжения. Ее изгиб – беззаботная улыбка пацана, который игнорирует ваш призыв о помощи. Материал средней части балки растрачен впустую, это не лучше, чем бесполезная масса пирамиды. Обычная балка действует вполсилы, как ленивый школьник, который напрягается на 50 %.

Любой учитель знает, какая фраза здесь должна последовать: «Так никуда не годится». В архитектуре каждая унция имеет значение, строите ли вы башню, щекочущую небеса, мост через каньон или захватывающие дух американские горки.

Будьте уверены: архитекторы не дураки^[56]. У них есть план.

4. Форма сопротивления

Я сказал, что архитекторы не дураки? Возможно, мне придется взять свои слова обратно, когда вы услышите, как они решили эту проблему. Из-за того, что верхняя и нижняя части балки принимают на себя все напряжение, пока средняя часть паразитирует на их усилиях, блестящее решение, найденное архитекторами, состояло в том, чтобы изготавливать балки без средних частей.

Не стоит восклицать; я все прекрасно понимаю. Балка без средней части представляет собой две отдельные балки, и это так себе решение.

Если только не… вырезать небольшую часть из середины балки. Вы оставляете бóльшую часть материала по краям и тонкий соединительный слой посредине^[57]. В результате поперечное сечение балки напоминает латинскую букву I («Ай»); поэтому она называется Ай-балка^[58].

Хорошее начало. Но у нас все еще остается потраченный впустую материал в центре. Поэтому мы запускаем вторую фазу плана архитекторов: просверливаем отверстия в центральной части балки.

Каждое отверстие экономит драгоценные ресурсы, при этом мы почти ничего не теряем в прочности. Чем больше отверстий, тем больше материала мы экономим, и это означает, что лучше всего изрешетить центральную часть балки – оставить как можно меньше материала и сделать как можно больше пустот.

Но погодите. Перед тем как начать волей-неволей просверливать эти отверстия, нам нужно разработать план. Какое распределение отверстий минимизирует расход материала и при этом сохранит прочность и жесткость конструкции? Где бы нам найти простую и упругую форму, не говоря уже о том, чтобы она хорошо подходила для плоской, почти двумерной области в центре Ай-балки?

Есть всего одна фигура, способная ответить на этот вызов. Слабовольный квадрат не подходит: его углы покосятся. Трусливый пятиугольник разрушится под давлением. И забудьте про бесхребетного перебежчика, известного под именем шестиугольник. Лишь супермен среди многоугольников может выдержать напряжение и стоически, непреклонно сохранить свою форму.

Позовите к телефону Треугольник.

Соединяя треугольники в единую конструкцию, вы создаете ферму^[59]. В ферменной конструкции каждый элемент подвергается растяжению или сжатию. Фермы позволяют не тратить материал впустую – так охотники до упора разделывают тушу животного.

В Древнем Египте треугольник делал свое дело на пустырях, позволяя землемерам проделывать ловкие фокусы, пока софиты светят на других героев. Затем, спустя тысячелетия, по ту сторону океана, треугольники переместились из-за кулис на авансцену.

5. Мы возвели этот город

В XIX и начале XX века обитатели Северной Америки освоили пустой континент. Поскольку он был довольно бугристым, требовались мосты всех видов, от скромных пешеходных до гигантских железнодорожных. Для этих мостов потребовались ферменные конструкции. А что нужно для ферменных конструкций? Треугольники, естественно.

Ферменная конструкция Пратта^[60], разработанная двумя братьями в 1844 году, состоит из рядов прямоугольных треугольников. Она покорила Соединенные Штаты, оставаясь популярной на протяжении десятилетий.

Ферменная конструкция Уоррена, появившаяся в 1848 году, задействовала равносторонние треугольники.

Балтиморские и пенсильванские ферменные конструкции – вариации ферм Пратта со вложенными треугольниками – стали повсеместно использовать при строительстве железнодорожных мостов.

K-ферма комбинирует разные виды треугольников (надеюсь, никому не приходит на ум ку-клукс-клан).

Ферменная конструкция Бейли стала использоваться во время Второй мировой войны. В соответствии с теми или иными военными нуждами унифицированные модульные треугольники могли быть разобраны, погружены на корабли и снова собраны.

Речь идет не только о мостах. Треугольные крыши тоже нуждаются в ферменных конструкциях – стропилах. С их помощью делают скелет высотных зданий. Чего уж там, стандартная велосипедная рама – не что иное, как простейшая ферма из двух треугольников. В современном городе вы перемещаетесь среди треугольников, они вас поддерживают, вы даже ездите на них.

Архитекторы скованы мириадами ограничений: бюджет, строительные нормы, законы физики. Они прибегают к помощи треугольников не из эстетических соображений, как художники или оформители интерьеров, а потому, что в мире геометрии нет других квалифицированных кандидатов. Брак между архитектурой и треугольниками заключен не по любви. В лучшем случае – ради удобства, в худшем – от безысходности. Таким образом, можно ожидать, что конструкции будут получаться ошарашивающими – как последний отчаянный компромисс, как бельмо на глазу.

И все же они прекрасны. Забавный парадокс дизайна: полезность порождает красоту. В эффективности есть элегантность. Приятно смотреть на вещи, которые просто-напросто функционируют.

Думаю, то же удовольствие я получаю от математики. Хороший математический аргумент, как и хорошо сконструированная ферма, просто-напросто функционирует. Уберите один основополагающий постулат, и все придуманное вами рухнет. Здесь есть неоспоримая грация: минимализм, поддерживающие друг друга элементы, абсолютная прочность и ни единой лишней унции.

Я не могу объяснить, почему те или иные вещи кажутся мне прекрасными. (Скажем, поп-рок девяностых.) Но я знаю, что в повествовании о треугольнике есть нечто превосходное. Трехсторонность делает его уникальным; уникальность, в свою очередь, делает его могущественным; могущество же делает его ключевым элементом современной архитектуры. Возможно, есть натяжка в утверждении о том, что треугольник «спасает мир», но, если вам интересно мое мнение, он делает мир лучше. Треугольник позволил миру стать таким, какой он есть.

Глава 7
Иррациональная бумага

По прибытии в Англию^[61] я был готов столкнуться с огрехами моего американского воспитания. Вместо научных градусов Цельсия я пользовался архаичными градусами Фаренгейта. Вместо аккуратных километров (состоящих из 1000 метров) я использовал причудливые мили (состоящие из 5280 футов). Вместо чая я заливал в свой топливный бак карамельные коктейли, будучи верен бренду «Старбакс». И я заранее знал, что мне непросто дастся адаптация к традициям цивилизованного мира.

Но был один культурный шок, который я не предвидел: форматы бумаги.

Как все янки, я вырос, используя бумагу формата US Letter: 8,5 дюймов (21³/₅ см) в ширину и 11 дюймов (27¹⁹/₂₀ см) в длину, поэтому иногда этот формат называют броским именем – поистине убийственный брендинг – «восемь с половиной на одиннадцать». Если бы я пораскинул мозгами, то понял бы, что в других странах вместо дюймов ведут измерения в сантиметрах, поэтому формат US Letter им вряд ли подойдет.

Название «восемь с половиной на одиннадцать» представляется мне неуклюжим, но оно меркнет на фоне ужасного словосочетания «двадцать один и три пятых на двадцать семь и девятнадцать двадцатых».

Когда же я увидел листки их формата – известного под еще менее привлекательным названием «A4» – я испытал к ним острое отвращение. Они слишком узкие, как модные джинсы. Я давно привык к свободному крою типа клеш, и все мое существо раздражала эта изящная европейская белиберда. Длина бумаги формата US Letter примерно на 30 % больше ее ширины; очевидно, что в Европе соотношение было иным. И, что столь же очевидно, оно было хуже.

Поэтому я решил присмотреться к размерам бумаги A4. Я предполагал что-то вроде 22,5 см на 28 см или, возможно, 23 см на 30 см.

Мило и аккуратно с точки зрения этих европейцев, помешанных на метрической системе мер, не правда ли?

А вот и нет. Верный ответ: 21 см на 29,7 см.

Какого черта?

Я поделил 29,7 на 21, чтобы выяснить упрощенное соотношение: примерно 1,41. Будучи учителем математики, я сразу же узнал это число: оно (приблизительно) равно иначе говоря, квадратному корню из двух. И если раньше я недоумевал, то теперь мгновенно зарычал и воспылал негодованием.

– иррациональное число: то есть оно не является соотношением двух целых чисел.

Производители бумаги выбрали иррациональную пропорцию, которая – я не стану деликатничать – вообще вне всякого рацио.

Как правило, в жизни мы пользуемся двумя видами чисел: (1) целыми числами, например: «У меня трое детей», «Каждое утро мои дети съедают пять тарелок каши» и «Спектр пятен на одежде моих детей – более 17 цветов»; (2) соотношениями целых чисел, например: «Мы тратим ¼ семейного дохода на конструктор “Лего”», «Дома, где живут дети, в 17½ раз чаще разрисованы фломастером», «Эй, когда успели поседеть ⅔ моих волос?».

(Должен заметить, что десятичные дроби, которыми вы пользуетесь ежедневно, тоже представляют собой замаскированные соотношения целых чисел. Скажем, 0,71 доллара – это просто ⁷¹/₁₀₀ доллара.)

Но некоторые дикие экзотические числа не подпадают ни под одну из этих категорий. В них не просто нет цельности – охотясь за ними, мы попадаем мимо цели: их нельзя записать в виде дроби. (Мой 12-летний ученик Адам, чей интеллект блистательнее моего, назвал их «неудробноваримыми»^[62]). Вы не сможете подстрелить эти числа обыкновенной или десятичной дробью. Они будут постоянно ускользать.

Именно таким и оказывается  – число, при умножении само на себя дающее 2. Присмотримся к нему.

Нет подходящей десятичной дроби, которая в точности равна и подходящей обыкновенной дроби тоже нет. ⁷/₅? Близко. ¹⁴¹/₁₀₀? Ближе. ^{665 857}/_{470 832}? Так близко, что ответ уже маячит где-то рядом. Но мы никогда не найдем точного ответа. Никогда в точности не будет

не просто иррациональное число. Наряду с π это одно из самых знаменитых иррациональных чисел в математике. По легенде, пифагорейцы, исповедующие культ разума, были настолько ошеломлены, узнав о невозможности записать в виде дроби, что утопили математика, который сообщил об этом открытии.

Если производители бумаги в Европе стремятся к они никогда не смогут достичь своей цели. Говоря языком, который поймут мои британские коллеги: это чертовски недальновидно, не правда ли?

Несколько дней я пребывал в состоянии обостренного раздражения. Дурацкие листы, притрагиваться гадко, словно к ядовитому плющу или к жвачке, прилепленной под партой. Я мрачно шутил по этому поводу; расчет был в том, что эти колкости очаровательно меланхоличны, но в них была такая доза горечи, что слышавшие их отшатывались.

А потом я осознал, что ошибался.

Конечно, я пришел к этому выводу не самостоятельно. Такого у меня не бывает. Наоборот, кое-кто указал мне на замечательные свойства формата A4.

Он составляет часть команды.

Он ровно в два раза больше A5, вчетверо больше А6 и в восемь раз больше пригожей малышки А7. Кроме того, А4 – это ровно половина А3, четверть А2 и одна восьмая впечатляющего великана А1.

Формат US Letter играет по своим собственным правилам, как и подобает в той индивидуалистической культуре, где его используют. Наш формат, «восемь с половиной на одиннадцать», никак не соотносится с бумагой меньшего и большего размера. Он такой один^[63].

Напротив, универсальный формат бумаги построен на глобальных взаимосвязях, как и сам глобальный мир. А4 принадлежит к унифицированной серии форматов: у них различные размеры, но одинаковые пропорции^[64].

Вы понимаете, насколько это восхитительно, если постоянно пользуетесь бумагой – скажем, если вы учитель математики. Вы можете разрезать лист пополам и получить два листа формата А5. Или сложить два листа вместе и получить лист формата А3. Бесчувственных и равнодушных людей, которые прожигают жизнь на пляжах, в ночных клубах и французских ресторанах, возможно, это не воодушевит. Но поклонник канцтоваров испытывает трансцендентный трепет. Эта бумага имеет смысл.

Когда я осознал это, то увидел, что промах – вовсе не промах. Это было неизбежно. Единственный способ заставить эту заколдованную матрешечную систему бумаг работать эффективно.

Чтобы понять, почему это так, представим себе следующую сцену.

ЛАБОРАТОРИЯ ПО ИЗГОТОВЛЕНИЮ БУМАГИ. НОЧЬ.

Красавцы Гвен и Свен, бумаговеды, работают над сверхсекретным исследовательским проектом. Его кодовое название – «Бумага для универмага» или, возможно, «Бумага и отвага» – в зависимости от того, что звучит круче с учетом их неуловимого иностранного акцента. Уже поздно. Они измотаны, но преданы делу.

ГВЕН. Ну хорошо, Свен. Возможно, я не знаю в точности наших национальностей, но я знаю одно: судьба цивилизации зависит от того, способны ли мы создать серию бумажных листов, каждый из которых вдвое меньше предыдущего.

СВЕН. Ставки предельно высоки. Но… какие размеры будут иметь эти бумажные листы?

ГВЕН. Есть всего один способ это выяснить.

Решительным движением Гвен складывает лист бумаги пополам и помечает три размера: длинный (длина изначального листа), средний (ширина изначального листа) и короткий (ширина половины листа).

ГВЕН (продолжая операции с бумагой). Итак, каково соотношение между длинным и средним?

СВЕН. Это именно то, что мы пытаемся выяснить.

ГВЕН. Хорошо, каково соотношение между средним и коротким?

СВЕН. Черт возьми, Гвен! Мы знаем, что соотношение такое же, но мы до сих пор не знаем, чему оно равно.

Проходит мгновение, исполненное романтического напряжения.

ГВЕН. Окей. Допустим, средняя сторона в r раз длиннее короткой.

СВЕН. Но чему равно r?

ГВЕН. Пока не знаю. Все, что я знаю, – оно больше одного, но меньше двух, потому что средняя сторона длиннее, чем короткая, но не вдвое длиннее.

СВЕН. Ну хорошо. Полагаю, длинная сторона тоже в r раз длиннее средней.

ГВЕН. Следовательно, если ты хочешь узнать длину длинной стороны, зная длину короткой, ее надо умножить на r (чтобы узнать длину средней) и снова на r. Получается r в квадрате.

СВЕН (бьет кулаком по столу). Ты двужильный гений, ты великан среди карликов! Гвен, получилось!

ГВЕН. Неужели?

СВЕН. Длинная сторона в r² длиннее короткой. Но погляди: она же в два раза длиннее короткой!

ГВЕН. Слов нет… ты прав… и это означает…

СВЕН. Да, r² равно 2.

ГВЕН. Поэтому r равно квадратному корню из двух! Это и есть секретное соотношение, которое положит конец всем мучениям и объединит человечество!

СВЕН (внезапно с другим акцентом). Прекрасно, Гвен. Уступи мне это число.

ГВЕН. Свен? Зачем ты достал пистолет?

Я заблуждался: создатели формата А4 выбрали соотношение сторон не для того, чтобы насолить лично мне. Они выбрали его и не по сиюминутному капризу, и не в знак упорного противостояния американской гегемонии, и не из садистского удовольствия подобрать иррациональное число.

На самом деле они его в принципе не выбирали.

Они решили создать систему бумажных форматов, каждый из которых вдвое меньше предыдущего. Это довольно крутой и труднодостижимый трюк. Но когда они вступили на этот путь, решение перестало зависеть от их выбора. Есть всего одно число, отвечающее поставленным требованиям, и так уж вышло, что это и есть знаменитое иррациональное число

Теперь я знаю, что всем нам нравится воображать дизайнеров бумаги необузданными фантазерами, ограниченными только пределами своего воображения. Но в действительности все намного интереснее. Дизайнеры движутся в пространстве возможностей, которыми управляют логика и геометрия. Это застывший ландшафт: некоторые числа рациональны, другие нет, и ни один дизайнер ничего не может тут поделать. Вместо этого он должен лавировать среди этих препятствий – или, что даже лучше, превратить их в преимущества, как архитектор, чье здание гармонирует с окружающей средой.

Короче говоря, не буду долго разглагольствовать: я поменял свое мнение о формате А4. Теперь, когда я знаю, почему соотношение сторон стремится к тот факт, что производители бумаги обречены на микроскопическую ошибку, меня больше не тревожит. Честно говоря, формат А4 даже перестал казаться мне неправильным. Теперь меня, наоборот, раздражает бумага формата US Letter, слегка располневшая и старомодная.

Кажется, я завершил переход из одной категории несносных американцев в другую. Из шовиниста и поборника моих своевольных национальных обычаев я стал страстным проповедником зарубежных традиций. Сейчас я даже реже пью карамельные коктейли, хотя уверен, что полностью никогда не откажусь от них, как и от бумаги американского формата.