Читать книгу: «Музыкальная геометрия мира: музыка и мы. Игра-эксперимент «Узел» в письмах к М.», страница 11
Тайна 1.
Входи и смотри (зрением ума, разумеется).
Рис. автора.
Вертикаль ключа, поднимаясь снизу вверх (по правилу обертонов, в соответствии с природой звука), охватывает и гептатонику ( она же – и диатоника, и гамма), и охватывает октаву (расстояние-интервал от примы – тоники – до её повторения вверху, то есть до октавного звука).
Это показывает нам система звуковых координат из линеек.
Сама вертикаль поднимается от нашей «нулевой точки отсчёта» – ДО, которую мы называем «первой» (примой), дорастает до октавного повторения примы (по количеству линеек!) и делает возвратную петлю в виде волны и спирали, которая завершается точкой, обозначающей звук (звук!) квинты.
Нижняя граница спирали намекает на то, что квинта может быть заполнена ещё одним звуком – третьим, т е р ц и е й.
И тогда образуется т р е звучие – аккорд.
Т о н и ч е с к о е т р е з в у ч и е – от начального т о н а (звука).
Любопытно, что высота столбика (или колонны?) трезвучия геометрически равна ширине спирали ключа.
А сами ноты – словно маленькие подобия этой спирали. И они – не шарики, а эллипсоиды – как наша планета Земля.
Тонкий расчёт – в основе геометрии нотного стана!
А ты помнишь то трезвучие, что явилось нам в Сфере Александера?
Вот чудо обнаружилось:
Если квинту «ДО – СОЛЬ» просчитать хроматическими звуками, то по количеству звуков она окажется о к т а в о й (до-до#-ре-ре#-ми-фа-фа#-соль – 8 звуков), а терция «ДО – МИ» окажется по количеству хроматических звуков к в и н т о й (до-до#-ре-ре#-ми – 5 звуков). Что за чудесные превращения!
Тайна 2.
Сущая головоломка!
Но – захватывающая. И уж точно – геометрическая.
Давай сделаем (умозрительно) печать звука – печать-ноту, эллипсоид: его вертикальная ось – размером от линейки стана до линейки, горизонтальная ось – чуть больше.
Пропечатаем подряд все звуки в диапазоне, который охватывает ключ «СОЛЬ» на нотном стане:
Рис. автора.
Что мы увидим?
Мы увидим, что ноты образовали восходящую линию.
Если мы измерим длину этой линии, то окажется, что эта самая длина является длиной окружности, диаметром которой является высота скрипичного ключа! Проверь сам.
(На моём настоящем рисунке высота ключа – 3,5см; длина линии нот ≈ 11см.
3,5 х 3,14 = 10,99. Ты же помнишь, что длина окружности вычисляется по формуле L=πD.)
Вот ещё как может маскироваться круженье.
Мы видим, что ноты образовали диагональ.
Ключ указывает на вертикаль, а линии нотного стана – горизонталь.
Сам собою напрашивается треугольник. Даже два треугольника.
Но мы пока поиграем-поэкспериментируем с одним.
Рис. автора.
Давай вырежем его из бумаги и накрутим на вертикаль ключа (подойдёт соломинка для коктейля диаметром с ноту на нашем рисунке).
Рис. автора.
Мы увидим спираль!
Если соломинка оказалась действительно диаметром с ноту, мы увидим семь витков спирали – как семь нот гаммы (диатоники).
А ведь мы, можно сказать, закручивали диапазон октавы (от линейки до линейки, как показывает вертикаль ключа). Просто волшебство какое-то.
Есть ещё более изумительное волшебство в нашем рисунке с ключом и нотами.
Вертикаль ключа показывает нам октаву, а диагональ звуков – две октавы, укладывающиеся в октаву ключа.
Когда учёные, занимающиеся квантовой физикой (наисовременнийший раздел физики), пришли в результате своих исследований к модели пространства, они обнаружили, что само пространство обладает особой
в р а щ а т е л ь н о й с и м м е т р и е й. В этом пространстве сфера совершает полный поворот не в 360˚, а в 720˚ – то есть, поворот вдвое больший на самом деле.
Получается, что ноты демонстрируют нам аналогичное явление.
Как это явление объясняют сами физики, ты сможешь прочитать в небольшой, но очень доступной для понимания и увлекающей своей живостью статье-эксперименте Сета Ллойда, профессора квантовомеханической инженерии (из книги Джона Брокмана «Теории всего на свете»). Статья «Истинная симметрия пространства» – на страничках ниже. А вот – цитата из статьи, об итоге эксперимента:
«…вы обнаружите, что траектория мяча походит на изображённую в пространстве восьмёрку или знак бесконечности (∞) и что траектория эта совершила не один полный поворот, а два. Таким образом, истинная симметрия пространства соответствует повороту не на 360˚, а на 720˚.»
Так выглядит начало статьи об истинной вращательной симметрии пространства. Статью полностью можно прочитать в книге.
Подобное явление можно обнаружить и в эксперименте на плоскости, с кругами: когда один круг совершает поворот вокруг своей копии (как самого себя же).
Посмотри и поэкспериментируй.
Мы экспериментируем на плоскости, которая служит нам сейчас в качестве проекции пространства (как плоские тени от объёмных предметов).
Синяя точка на рисунке отмечает начальное положение.
Когда круг А сам по себе в результате своего движения будет выглядеть так же, как он выглядит сам по себе на первом рисунке (с той же синей точкой справа), это будет означать, что он совершил поворот на 360˚ вокруг своего центра.
Начальное положение круга А:
Рис. автора.
Начинаем катить круг А по линии окружности другого круга:
Рис. автора.
Круг А выглядит так же, как в начале своего пути. Он совершил поворот на 360˚, но в начальное положение не вернулся. Ты можешь проверить это практически, вырезав круги из картона. Ты можешь о с я з а т ь этот геометрический процесс.
Катим круг А дальше:
Рис. автора.
Круг А повернулся ещё на 360˚ и вернулся в начальное положение.
Итого он совершил поворот на 720˚.В этом явлении удивительно вот что:
Обе начальные окружности (чёрная и круга А) совершенно одинаковы, с одинаковым количеством точек, из которых состоят. При движении круга А все точки его окружности должны были совпасть с точками чёрной окружности «точка в точку», – допустим, на каждый градус поворота – по точке. Но градусов поворота оказалось в два раза больше, – как будто у окружности круга А и точек в два раза больше.
Подобному явлению удивлялся и немецкий математик Георг Кантор, только по поводу графиков функции. Он удивлялся тому, что количество точек отрезка равно количеству точек квадрата. Только в случае с функцией две точки координат сливаются в одну точку функции. Этот пример – из книги В.Босса «Интуиция и математика». Кантор говорил, что его рассудок отказывается это принимать, но очевидность – убедительна.
Вообще, вся эта геометрическая картинка заставила вспомнить знаменитые эпициклы Птолемея. В его космической системе планеты двигались подобным образом. Знал ли Птолемей об истинной вращательной симметрии пространства? Тогда квантовой механики ещё не было… Система Птолемея, в конце концов, была отвергнута последующими поколениями астрономов, но до сих пор даже современных учёных удивляет точность, с которой эта система предсказывала явление планет, их движение на земном небосклоне.
А теперь просто посмотри на продолжение этой геометрической игры:
Если соединить точки вращения круга А…
Рис. и пометки автора.
Лист? Сердце?
А если почаще наносить точки вращения… (Ты можешь проэкспериментировать сам, с помощью кругов.)
Рис. автора.
Сердце? Яблоко?
Согласись, что музыкальная геометрия – геометрия нотного стана – выглядит намного компактнее. И весьма лаконично она даёт нам знать («нота» – «знать») об истинной вращательной симметрии пространства. К тому же – эта геометрия звучит!
Тайна 3.
На самом деле в этой тайне для нас нет ничего тайного. Нужно только суметь
у в и д е т ь некоторые отношения, пропорции в геометрии ключа – и всё!
Рисунки автора.
Дальше – чуть поинтереснее. Присмотрись.
Рис. автора.
Конечная точка большого завитка может указывать и на квинту, и на кварту.
А никакого страшного противоречия нет. Мы-то хорошо знаем, что кварта – это всего лишь перевёртыш квинты: как будто её отражение в зеркале, где правое и левое меняются местами.
В конце концов, нота СОЛЬ может быть не только квинтой До-мажора, но и до-минора; может быть квартой Ре-мажора и ре-минора.
Это всего лишь говорит о великих потенциальных возможностях ключа. По опыту ты знаешь, что в с е тональности пользуются его услугами!
Так что… как посмотреть. А «как посмотреть» – это значит выбрать систему отсчёта и как и что в ней соотносить. И это – принцип относительности.
Вот! В музыке тоже действует принцип относительности.
Тайна 4.
Геометрия в пространстве.
Возьмём Геометрию за ручку и выведем прогуляться в пространство.
Мы будем с нею играть. А как же!
Пусть линия станет полоской бумаги ≈ 5мм шириной и 300мм длиной.
Раз-два-три – начало игры! Смотри и повторяй:
Рис. автора.
Совет: начинай снизу вверх, по логике звука и нотного стана. В любой игре обязательно есть логика.
Получилось?
…Результаты экспериментов принято изучать, анализировать.
И мы попробуем.
Первая петля:
Рис. автора.
Если мы её склеим в обозначенной точке, у нас получится Петля Мёбиуса ( она же – Лента Мёбиуса). Она будет обладать свойствами Ленты Мёбиуса, даже если мы склеим концы нашей ленты под прямым углом.
Напомню свойства этой Ленты:
Непрерывность.
Парадокс: две поверхности ленты на самом деле являются одной поверхностью для скользящего по ленте пальца. Наш палец скользит всё время в одном направлении непрерывно, не перескакивая с одной поверхности на другую, но при этом бывает на обеих поверхностях.
Два – в одном, одно – из двух. Два – как одно.
Этот парадокс удивлял и Георга Кантора в связи с графиком функции (кол-во точек квадрата из координат (а их две) то же, что и в получаемом отрезке из одиночных точек. Этот же парадокс и во вращательной симметрии пространства, и… в геометрии нотного стана.
И вот ещё сам ключ намекает на это же своей петлёй.
Тут надо приплюсовать и третье свойство Ленты (Петли) – бесконечность.
Продолжим?
Рис. автора.
Сделай так и затяни аккуратно концы ленты.
…Моя лента совершила вращательное движение в пространстве и успокоилась на такой знакомой фигуре! Вот на этой:
Рис. автора.
Как тебе такое?
Скрипичный ключ – зашифрованный узел?!
Выходит, что так. К тому же, узел – мы знаем – обладает свойствами Ленты Мёбиуса, когда замкнут.
Сам узел может выполнять функцию склейки в Ленте Мёбиуса. Он ведь переворачивает, меняет местами противоположности: верх-низ, лево-право.
Давай сравним ключ и свободный замкнутый узел:
Рис. автора.
Три петли (зелёные точки). Три пересечения (красные точки).
Трезвучие.
Со второй фигурой можно играть в обращения трезвучий, если катить её, словно колесо:
Рис. автора.
Начинаем снизу и кружимся вверх – по правилу поведения звука (обертонов); слева направо – по правилу устроения клавиатуры.
Ох, что-то это напоминает…
Движение планет и самой солнечной системы тебе это не напоминает?
А давай покатаем колесо (круг то есть). Играть так играть!
Мы это делали, когда вникали в истинную вращательную симметрию пространства. Только у нас теперь будет круг с тремя точками-нотами: ДО-МИ-СОЛЬ, трезвучие.
Рис. автора.
…У меня вот что получилось:
Рис. и пометки автора.
Три «кардиоиды»!
А ты можешь проверить всё сам, экспериментально. Круги в кармашке слева.
Отметь все три точки в начальном положении и продолжай отмечать, когда начнёшь катить, то есть вращать, «трезвучие». И так – пока наше трезвучие не вернётся в начальное положение.
Круговое вращение вернуло нас к петлям!
Давай поисследуем: что мы здесь интересненького разглядим?
Рис. автора.
Геометрическая прогрессия (k=2, или ½).
Рис. автора.
Квинтовые отношения.
Рис. и пометки автора.
Подобия с намёком на чередование.
Подобное чередование мы видели в проволочном «еже», выращенном из проволок, размеченных в соответствии с числами Фибоначчи.
Напомню:
Модель автора.
Внутри – красный додекаэдр, он вырастает в белый икосаэдр, а тот опять вырастает в додекаэдр, показанный синим цветом.
Рис. автора.
Фигура, которая образуется, когда завязываешь узел.
Рис. автора.
Прозрачный узел в процессе завязывания.
На первый взгляд даже трудно вообразить, что это всё – в скрипичном ключе!..
Но выходит, что в очень разных и непохожих внешне формах и явлениях можно обнаружить общую связь.
Мы всего лишь меняли точки зрения – «системы отсчёта».
Вот ещё одна точка зрения.
Что если бы мы завязали наш скрипичный ключ-узел не из плоской ленты, а из круглой верёвочки?
Чтобы завязать плоский узел, нам хватило бы шести квадратов на ленте.
Это чертёж узла.
Чтобы завязать узел из круглой верёвочки, нам хватит её длины, равной шести цилиндрическим кусочкам; при этом высота и диаметр каждого цилиндрика равны (тот же квадрат). Можешь проверить практически.
А ещё в объём этого отрезка верёвочки помещается объём девяти сфер (по закону Архимеда объём сферы, вписанной в цилиндр, равен 2/3 объёма цилиндра). 9/6 = 3/2. Квинта! Верёвочный узел тоже покажет квинту.
Но мы вернёмся к плоскости, скрипичному ключу и вращению трезвучия.
Ключ = узел.
Ключ указывает на трезвучие.
Трезвучие вращается-обращается:
1-е обращение – секстаккорд ( «секст» – «шесть», «секста» – «шестая»).
2-е обращение – квартсекстаккорд ( «кварт» – «четыре», «кварта» – «четвёртая»).
Когда мы завязываем узел, вращая ленту, первый поворот нарисует 6 в виде шестиугольника.
После следующего поворота мы продеваем ленту в петлю, и она рисует нам квадраты-кварты.
Рис. автора.
Затянутая петля превращается в пятиугольник-квинту. А в квинту заключено и трезвучие в своём начальном виде – из двух терций.
Выходит, геометрия скрипичного ключа содержит в себе намёк и на обращения трезвучия: секстаккорд и квартсекстаккорд. Удивительны свойства этого ключа!
А для чего вообще трезвучиям нужно вращаться?
А для того же, для чего вращаются электроны в атомах и все космические тела – для связи, для преобразований; для того, чтобы атомы с помощью электронов соединялись друг с другом; чтобы космические пылинки образовывали звёзды и планеты, а из них – галактики… Переменами и связью держится жизнь.
Тонические трезвучия тональностей на самом деле не прыгают по квинтам, когда ТОНАЛЬНОСТИ-актрисе захочется смодулировать – измениться. Они «подкатываются» к доминанте-квинте, чтобы утвердить на ней новую тонику.
Как это может происходить?
Если бы мы захотели запечатлеть этот процесс модуляций с помощью ключей-клавиш клавиатуры…
Впрочем, посмотри на страничках ниже. Вот что у нас получилось бы. Башня! В целых две страницы. Довольно громоздкая геометрия.
Геометрия нотной записи, конечно же, выглядит компактнее.
Рис. и пометки автора.
Две страницы (которые ниже) упаковались, сжались в две строки.
Рис. автора.
Рис. автора.
Как в данном случае происходит модуляция по квинтам?
Тоническое трезвучие, обернувшись квартсекстаккордом, оказывается на доминантном звуке (на квинте). И тут срабатывает гравитация, притяжение, «магнитное поле» доминанты. И эта доминанта перетягивает верхнюю терцию тонического квартсекстаккорда к себе поближе и превращается в новое трезвучие, с новой тоникой.
Рис. автора.
Сила притяжения звуков! Эта сила и связывает, и влечёт к переменам.
Эта сила – соль модуляций.
А гравитацию-притяжение создаёт о б щ и й з в у к (объединяющий звук).
Мы можем поиграть в модуляции по квинтам и в миноре.
Правда, в натуральном миноре доминанты будут получаться не активными, а будто вялыми, несколько печальными. Или слишком спокойными? А может быть, слишком задумчивыми, погружёнными в себя? Во всяком случае, они не вспыхивают энергией солнечных лучей.
Ты можешь воспроизвести это на клавиатуре (читая нотные знаки) и услышать в звуках.
Рис. автора.
В г а р м о н и ч е с к о м миноре всё куда интереснее! Ведь там появляется
м а ж о р н о е доминантовое трезвучие. Есть возможность вообще уйти в мажорные тональности.
А можно возвращаться к минору. И тогда мажорный «всплеск» будет похож на улыбку посреди задумчивости, на лучик надежды посреди печали, на солнечный проблеск меж облаков, на лоскуток радуги во время дождя… Ты же помнишь, что хроматизмы – это оттенки: оттенки звука – как оттенки цвета. Гармонический минор – цветной!
Рис. автора.
Круженье аккордовых звуков можно я в н о ощутить, если проиграть аккорды приёмом а р п е д ж и о (вспомнились арфа и кифара).
Ты, пожалуй, заметил, что размах (масштаб) темперированного строя никак не умещается в пространстве только скрипичного ключа.
А ничего удивительного. Темперированный строй, можно сказать, рос вместе с оргáном. Масштаб – ого!
Только подумаешь об оргáне – и тут же слышишь в себе его пронизывающие бездонные б а с ы. Пространство!
Басовый ключ явился нам так незаметно и естественно, лишь только мы пожелали прогуляться по пространству звука, по его квинтам.
Есть ли тайны у басового ключа?
Ключ «ФА».
Вот сразу покажу звуковой диапазон оргáна – нотными знаками:
Рис. из Википедии.
Конечно, как же обойтись тут без басового ключа?
Но почему этот ключ – именно «ФА» (а не тоже «СОЛЬ», что на первый взгляд кажется более удобным)?
А мы вспомним про систему координат с «нулевой точкой отсчёта» – ДО Первой октавы – прямо напротив нашего сердца. Влево – НИЗ, вправо – ВЕРХ.
Мы выбираем систему отсчёта, чтобы с чего-то начать ориентироваться в пространстве. А дальше – начинаем сРАВНивать, исходим из РАВНости, РАВЕНства, РАВНОвесия.
Мы уже поняли, что в пространстве звука мерой является квинта (да и не только в мире звука, как попутно стало выясняться…).
Равновесие квинт справа и слева от ДО: справа вверху «СОЛЬ», слева внизу… «ФА». Равновесие квинт – вот и вся причина.
Но почему образы ключей «СОЛЬ» и «ФА» – их «печати» – так разнятся?
В тайную геометрию ключа «СОЛЬ» мы заглянули.
Правый узел, со всеми его скрытыми возможностями (может, и не со всеми, но кое-какими).
На самом деле тайны ключа «ФА» очень похожи на тайны ключа «СОЛЬ».
Мы можем приблизиться к их разгадке, начав с геометрии в пространстве.
На сей раз нам даже лента не понадобится. Достаточно воображения.
Этот ключ легко представить завитком ленты.
Пусть она следует правилам поведения звука.
Тогда она движется снизу вверх, охватывая ДО малой октавы, закручивается справа налево и завязывается узелком на ФА. Левый узел!
Его «жизненное пространство» – квинта линеек нотного стана для квинты пальцев левой руки.
И в пропорциях ключа есть квинтовые отношения:
Рис. автора.
Отношения кварты (отражения-перевёртыша квинты) в нём тоже можно обнаружить:
Рис. автора.
В последнем случае четыре линейки, занимаемые ключом, намекают на четыре ступени октавы, которые занимает кварта.
И намёк на такое знакомое До-мажорное трезвучие:
Рис. автора.
Ключ «СОЛЬ» показывает нам его на линейках, а ключ «ФА» – в промежутках между линейками.
Почему так?
По-видимому, эти два ключа желают, чтобы мы о чём-то догадались. О чём-то весьма важном в нашем мире, о каком-то секретном его свойстве или принципе.
…Ч е р е д о в а н и е!
День и ночь (то Солнце, то Луна), бодрствование и сон, активность и покой, лето и зима, тепло и холод, уход и возвращение, вдох и выдох, высота и глубина, гребень волны и её провал, выпуклость и вогнутость, предметы (объём) и пространство (ёмкость для предметов). Даже атомы в кристаллических решётках упаковываются чередованием.
А в нашем проволочном «еже» («по Фибоначчи») чередуются додекаэдры и икосаэдры.
В музыке чередуются сильные и слабые доли.
Ноты на нотном стане тоже «упаковываются» чередованием: на линейке – между линеек, на – между, на – между…
Рис. автора.
А в результате – вращательная симметрия пространства!..
(Или это вращательная симметрия – виновница чередования?)
Мы меняем точки зрения. Мы играем зрением ума. Мы находим подобия.
В темперированном строе терция по своей подобности квинте в трезвучии (до-до#-ре-ре#-ми, – это так, напоминание) тоже была причислена к консонансам, вместе со своим обращением – секстой.
Можем поиграть ещё. Например, в системе отсчёта, где мерой является интервал т о н (как расстояние, как шаг между звуками).
Обратим внимание на то, что в басовом ключе терция МИ-СОЛЬ выделена особенно (двумя точками) и дана в сравнении с узелком ФА.
МИ-ФА=1/2 тона, ФА-СОЛЬ= 1 тон; вместе – 
ФА – м е ж д у МИ-СОЛЬ: 3/2:2=3/4. Число кварты.
Мы можем менять системы отсчёта, масштаб этих систем – и находить при этом подобия.
Так или иначе, но ключ «ФА» настойчиво указывает нам на перевёрнутую квинту (квинту вниз) – то есть на кварту.
Даже если мы затеем игру в модуляции по к в и н т а м вниз от «нулевой точки отсчёта» ДО, то обнаружим, что первым обращением основного трезвучия (ДО-МИ-СОЛЬ) у нас окажется КВАРТсекстаккорд (СОЛЬ-ДО-МИ).
А следующее обращение приведёт нас в мир б е м о л ь н ы х тональностей: начиная с Фа-мажора.
Рис. автора.
На клавиатуре это движение-вращение аккордов будет происходить справа налево (подражание левому узлу), а в нотной записи – сверху вниз.
Ты же всё это можешь проверить сам, экспериментально: читая то, что таят в себе кругленькие печати нот и отворяя путь звукам ключами-клавишами.
Рисунки автора.
Низ – тяжесть. Тяжесть – плотность. Плотность – вещественность, предметность. Бемольные тональности мы воспринимаем как более веские, плотные, густые.
Диезные тональности, стремящиеся ввысь, – прозрачны, светлы, легки. Ключ «СОЛЬ», открывающий им ход вверх, – солнце.
Мы даже можем поиграть мыслью так:
– Всё, что «диезно», обладает свойствами пространства. Потому что – высь. Небо, свет, воздух. Тонкая материя мира, которую и материей-то не назовёшь. Потому говорим – п р о с т р а н с т в о. Мир атомов и субатомных частиц мы тоже мыслим как пространство, пространство-время. В нём кружат потоки неразделимые, пронизывающие друг друга. Пространство помогает лучше понять явление связности.
– То, что «бемольно» – подобно сгущению материи, уплотнению, утяжелению. Эти сгустки мы видим как п р е д м е т ы, обретающие
