Читать книгу: «Музыкальная геометрия мира: музыка и мы. Игра-эксперимент «Узел» в письмах к М.», страница 3
Геометрия улитки.
Модель автора.
Развёртка пирамиды. Модель автора.
Пентаграмма (пятиконечная звезда) рождает внутри себя множество пентаграмм, подобных ей и друг другу. Это симметрия самоподообия.
Все отрезки пентаграмм относятся друг к другу в пропорции Золотого сечения.
Первое число Золотого сечения ϕ= 1,618…
Если собрать пентаграмму в пирамиду, она легко смоделирует двойную спираль (красные и синие полосы в модели). Такую же спираль образуют электрические сигналы внутри нашей ушной улитки (красные и синие стрелки). Эти сигналы и поступают в наш мозг, а мозг представляет их нам в виде звуков. Так мы слышим мир и слышим его музыку.
Правый и левый узлы из прозрачной ленты. Сдвоенный узел. Модели автора
Струнная теория. История о молотках и наковальнях. (Эксперименты Пифагора со струнами. Волновая природа звука.)
Эта история должна быть тебе знакома.
В связи с именем одного гения. Тоже тебе знакомого.
?
…Все рождённые люди имеют уши и мозг.
Пифагор был рождённым человеком. Следовательно, у него тоже были уши и мозг.
Замечательные уши!
Гениальный мозг!
2,5 тысячи лет (уже даже больше) тому назад, проходя мимо кузни медников, гениальный человек с замечательными ушами впервые (вот! «стать как новое утро в незнакомой стране») услышал нечто у д и в и т е л ь н о е…
Что?!
Он услышал… КОНСОНАНС!
Все слышали шум, звон, грохот. А он – КОНСОНАНС…
?
На самом деле Пифагор услышал то, что древние греки называли словом … «симфония». Это слово для них означало то же, что для нас французское слово «консонанс».
Энциклопедия:
Консонанс – франц. consonance, от лат. consonantia – созвучие, согласное звучание.
В древнегреческом – συμφωνία (simfonia: sim – «со», phone – «звук»; со-звучие). Слияние в восприятии одновременно звучащих тонов, или сами созвучия (интервалы, аккорды).
То есть определённые молотки медников при ударении (тон – «ударение») могли производить согласованные звуковые волны – созвучия, довольно приятные на слух, гармоничные.
Вот неизвестно, умело ли умозрение Пифагора увидеть внутри себя звук в виде волны, но поразительно то, что услышав молотки, этот человек догадался смоделировать волновой процесс (звуковую волну) с помощью колеблющейся струны!
Колеблющаяся струна стала первой вещественной моделью звуковой волны! Осознавал ли это Пифагор?
Что он сопоставил (соразмерил)?
Масса молотка – масса струны (масса куска струны, отрезка; сам кусок струны, отрезок) – сила, напряжение звукового тона (ударения).
Массивнее струна (длиннее) – меньше колеблется/напрягается – ниже звук.
Короче струна (меньше масса) – чаще колеблется/напрягается – выше звук.
(Как сердечки маленьких животных больше напрягаются, чаще бьются.)
От длины струны (её массы: массы куска меди, вытянутого в струну) зависит частота её колебаний/напряжений, высота тона.
Можно найти пропорцию (соразмерность) между длиной струны и высотой (напряжением) тона.
(В нынешней физике длине струны аналогична длина волны (в т.ч. звуковой волны); высоте/напряжению тона аналогична ч а с т о т а колебаний волны: чаще колеблется – больше напрягается.)
Гармоничные созвучия можно конкретно измерить! – Вот что привело Пифагора в восторг.
Невидимое, неуловимое, неосязаемое – можно измерить!
И тут же был изобретён измерительный прибор для вычисления звуковой гармонии – м о н о х о р д.
М о н о х о р д – от греч. monos – «один», «единый» и chorde – «струна».
Да, так просто: одна струна – измерительный прибор!
Точнее, одна струна, закреплённая на ящике. Струна определённой промеренной длины. И к струне – зажим, которым можно пережимать струну в любом месте, меняя тем самым тон её звучания.
Этот прибор многие годы служил ученикам Пифагора учебным пособием для изучения великого таинства ГАРМОНИИ. Не только в музыке!
Энциклопедия:
ГАРМОНИЯ: от греч. harmonia – «связь», «стройность», «соразмерность». Соразмерность частей, слияние различных компонентов чего-либо в единое органичное целое. В древне-греческой философии – организованность космоса («космос» – «красота») , в противоположность хаосу (греч. haos – беспредельная беспорядочная первобытная масса чего-то неопределённого).
Ого! Вот что происходит, когда обыкновенные и всем привычные звуковые волны попадают в уши гения. – Они модулируют, превращаясь в волны Мысли! Звук – музыка – философия. Вот это модуляция! (Философия – от греч. phileo – «люблю» и sophia – «мудрость»; любовь к мудрости.)
Музыка и космос. Весь мир! Этот мир сотворяется, организуется, существует благодаря с о р а з м е р н о с т и, согласованности – «созвучию» своих частей. Что согласовалось, «склеилось»,– то и обрело существование. Гармония – «клей» мира.
…Ты уже догадался, что ГАРМОНИЯ и КОНСОНАНС – это фактически одно и то же?
Но есть нюансы применения этих терминов. ГАРМОНИЯ – термин, который применим ко в с е м у миру, его устроению. И, соответственно, применим к музыке как части этого мира. А КОНСОНАНС – термин, который применяют, когда речь идёт о проявлении гармонии в м у з ы к е. Когда говорят о созвучиях м у з ы к а л ь н ы х звуков. Древние греки называли консонансы г а р м о н и к а м и. «Симфонии» – гармоники. У греков.
… Ещё не запутался?
Но нужно понять: пифагорейцы музыку м ы с л и л и как космос. Они музыку м ы с л и л и как весь мир.
Мыслили и измеряли. Соразмеряли.
С помощью своего измерительного прибора – монохорда.
Вспомним: струна монохорда – что-то вроде вещественной модели звуковой волны.
Всё, что проделывал Пифагор со струной, описал его ученик Архит. Тоже великий учёный-мыслитель.
…Если ударить по натянутой струне (как по наковальне) молоточком или ущипнуть её, колебания этой струны мы услышим как ТОН («ударение»).
Потому что, колеблясь, струна наносит удары по воздуху (газу), а его колебания ударяют по барабанным перепонкам в наших ушах ( а те – по молоточкам, наковаленке… и т.д.). Мозг соображает: ТОН. Звуковая волна какой-то напряжённости, частоты этих самых колебаний.
Это ТОН целой струны какой-то длины (массы отрезка меди). Струна – в роли молоточка для воздуха-наковальни.
Конечно, вряд ли Пифагор и Архит представляли себе физиологию и физику процесса так, как имеем возможность представлять себе мы. Но они заметили: длина струны и ТОН – с о р а з м е р н ы: определённой длине струны соответствует определённый ТОН (частота колебаний).
Прима, первый ТОН (от лат. primas – «первенствующий»):
Рис. автора.
Если зажимом пережать струну посередине (разделить её надвое) и ударить молоточком (или ущипнуть) ½ струны, уши услышат новый тон – в 2 раза выше (напряжённей) первого, струна будет колебаться в 2 раза чаще. То есть ч а с т о т а к о л е б а н и й ½ струны равна 2 (двум). А полученный тон созвучен первому до невероятно согласного звучания: как будто тот же, только в два раза выше.
Ты уже догадался, что речь идёт об интервале под названием ОКТАВА?
(Интервал – тоже отрезок; отрезок муз. строя).
Того же эффекта можно добиться, если в два раза сильнее натянуть струну, т.е. заранее увеличить её напряжение в два раза.
Итак, ОКТАВА – первый полученный с о в е р ш е н н ы й к о н с о н а н с.
Так и называется: «совершенный консонанс» («совершенная симфония» по-гречески, гармоника).
А длина струны (или волны) и частота её колебаний взаимно зависимы. Зависимы в обратной пропорции: длина – ½, частота – 2.
Рис. автора.
Экспериментируем (вместе с Пифагором и Архитом) дальше.
Поместим зажим монохорда на отрезке в 2/3 струны (т.е. поделим струну на 3 части и возьмем 2 из трёх частей):
Рис. автора.
КВИНТА – второй с о в е р ш е н н ы й к о н с о н а н с.
Конечно, тебе известны и другие интервалы.
Хочешь – посчитаем:
Прима (её тоже причисляют к интервалам).
Малая секунда. м2
Большая секунда. Б2
Малая терция. м3
Большая терция. Б3
Чистая кварта. Ч4
Чистая квинта. Ч5
Малая секста. м6
Большая секста. Б6
Малая септима. м7
Большая септима. Б7
Октава.
Двенадцать. Подобно количеству полутонов в октаве. Подобно двенадцати шагам квинт в музыкальном строе.
Правда, есть ещё один странный (мистический!) интервал: увеличенная кварта/уменьшённая квинта – ув.4/ум.5. Один интервал с двумя названиями. Тринадцатый! Ув.4 и ум.5 звучит абсолютно одинаково. Вот каждый раз и думай: «кто есть кто?». Обманчивый какой-то интервал, тревожный. Иногда его называют «волчьей квинтой». Оставим его. У нас-то речь о консонансах и гармонии.
В том музыкальном строе, с которым ты знаком (классический европейский строй), консонансами принято считать ещё и терции и сексты. И кварту.
Но вот что интересно. Классический европейский строй – не единственный в мире. В восточной и современной западной музыке есть музыкальные системы с гораздо бóльшим количеством интервалов (до 53-х!). Однако квинта и октава уже несколько тысячелетий и во всех странах, во всех музыкальных системах остаются главными неизменными интервалами:
С о в е р ш е н н ы м и к о н с о н а н с а м и.
Именно из их градаций/делений образуются все другие интервалы, сколько бы их ни было.
Вот Пифагора интересовала ещё и кварта. Тоже консонанс. Довольно любопытный консонанс. В чём его особенность – мы ещё узнаем.
А пока посмотрим, как Пифагор получил этот интервал.
Рис. автора.
Струну Пифагор поделил на четыре части и установил зажим между тремя и четвёртой частью: длина струны – ¾. Частота колебаний – 4/3.
Вот теперь внимание! –
Если квинту умножить на кварту – получим… октаву!
По длинам струн (длинам волн): 
длина струны (волны) октавы
По частоте колебаний: 
частота колебаний струны (волны)октавы
А теперь взгляни на клавиатуру:
Рис. автора.
А вот так? –
Рис. автора.
Перекрёст!
К этому перекрёсту мы ещё вернёмся.
…Ты готов и дальше ломать голову над твоей суперголоволомкой? (Она же – у т е б я в комнате поселилась и живёт!)
Над этой головоломкой ломали голову (в смысле вращали свои мысли) гениальнейшие умы человечества в течение тысячелетий!.. А нам что мешает подключиться?
Подключаемся к волнам мыслей Пифагора…
А что если мы представим себе те волны звука, которые колеблются вместе со струной пифагорова монохорда?
Это – на следующих страничках.
Рис. автора
Рис. автора
Консонанс – это созвучие, слияние, совпадение звучащих тонов (помнишь?).
В случае с волнами – слияние, совпадение их доминант, кульминаций. Совпадение гребней волн.
Рис. автора
Вот интересно: впишется ли в эту стройную систему к в а р т а?
Пифагор кварту тоже относил к консонансам.
А почему бы и нет? Мы же видели несколько страничек назад, что кварты в октаве появились благодаря двум квинтам, двум совершенным консонансам: квинта снизу вверх (от примы к октаве) х квинта сверху вниз (от октавы к приме), в результате их перекрёста. Кроме того, сама октава появляется в результате умножения квинты на кварту: 2/3 х 3/4 = 1/2, 3/2 х 4/3 = 2 (длина волны и частота октавы).
Давай посмотрим:
Рис. автора.
Не вписывается…
Но ведь не может быть, чтобы не вписалась! Когда-то же это должно случиться!
Мы будем настойчивы, как Пифагор, – раз уж решили следовать волне его мысли:
Рис. автора
Наконец-то!
Через 72 маленьких «шажочка»-деления на шкале (12 х 6 = 72) свершился всеобщий консонанс!
Эту ленту из волн можно даже замкнуть в кольцо. Так всё замечательно совпадает.
Модель автора
И даже количество кульминаций (гребней волн) соответствует частотам интервалов. Посчитай:
Прима: 6/6 = 1 (частота примы). Вся струна. 1.
Октава: 12/6 = 2 (частота октавы). 1/2 струны.
Квинта: 9/6 = 3/2 (частота квинты). 2/3 струны.
Кварта: 8/6 = 4/3 (частота кварты) 3/4 струны.
Частоты и длины струн ( они же – длины волн) – в обратной пропорции.
Перевёртыш. Перекрёст. Как квинты обращаются в кварты, так и длины волн обращаются в частоты.
Пифагор, конечно, мог сопоставлять вовсе и не волны, а отрезки струн. Например, вот так:
Рисунки автора.
Хотя, о волнах…
В конце своей жизни Эйнштейн написал автобиографию совершенно особенную. Это была автобиография его м ы ш л е н и я. Из чего рождается научная мысль? – вот о чём была эта автобиография. Как этот процесс в течение жизни он ощущал в себе. «Всё, что мы знаем о реальности, исходит из опыта и завершается им» (Эйнштейн). Мысль начинается с образов реальности. Потом в образах проступает логика. Она становится инструментом сравнений, сопоставлений, которые ведут к закономерностям, а потом – к теории. И – проверка опытом.
«…Это были образы волнующегося моря, символизирующего, а отчасти описывающего недоступные непосредственному зрительному представлению электромагнитные колебания…» (Из книги Б.Г.Кузнецова «Эйнштейн. Жизнь, смерть, бессмертие»)
Волны моря, волны воздуха, волны звука…
Да все древнегреческие памятники архитектуры изрисованы волнами-меандрами!
Ах, как жаль, что Пифагор не оставил нам никаких записей своих мыслей!
И вся его жизнь – легенда, пересказанная учениками учеников-учеников-учеников…
И эта жизнь – всегда у моря, и путешествия – через моря.
Рис. из Википедии.
А закон обратной пропорциональности длин волн и частот по сей день управляет волновой физикой. «Струнно-волновая теория» Пифагора… Вот к чему может привести музыка!
Конечно, у волны есть и другие характеристики, помимо длины волны и частоты. Обычно ещё учитывается период колебаний и скорость волны.
Но поскольку даже при смене скорости частота волны не меняется, а в нашем случае (на ленте) длина волны и период одинаковы, то мы видим просто явление обратной пропорциональности длины волны и её частоты.
Благодаря наблюдениям Пифагора и его опытам с монохордом был открыт закон гармонических колебаний струны. Посмотри на страничке ниже.
Оказывается, затронутая струна порождает звук, который способен
м о д у л и р о в а т ь (гармонично, или гармонически, изменяться). Звуковая волна, вырвавшись из струны на волю, гармонически модулирует!
Основной тон звучит ясно и громко, а потом превращается в волны повыше и потише. Как эхо, призвуки. И все эти призвуки с о р а з м е р н ы. Их называют ОБЕРТОНАМИ ( ОБЕР-тонами). Иначе эти самые обертоны называют г а р м о н и к а м и. Ну правильно! Они же рождаются из консонансов. А консонансы свидетельствуют о г а р м о н и и.
Гармоники:
Рис. и пометки автора.
Относительность! Одно относим к другому и сравниваем.
Энциклопедия:
Обертоны (гармоники): от немецкого «обер» – «старший», «высший».
Гармонические призвуки (частичные тоны), имеющиеся в спектре музыкальных звуков. Расположены в ы ш е основного тона, звучат слабее основного тона, сливаясь с ним, на слух почти не распознаются.
Негармонические обертоны свойственны звукам сирен, различным шумам.
Итак, звук, отправившись на волю, на природу, поначалу твердо следует совершенным консонансам – октаве, квинте – затем кварте. А потом… начинает потихоньку расслабляться, шалить. Октавы, квинты, кварты его всё-таки удерживают в рамках какого-то порядка. Но в промежутках всё чаще начинают мелькать словно «разболтанные», колеблющиеся интервалы.
Если эту «прогулку на воле» звуковых волн показать нотами, то она будет выглядеть вот так:
Рис. и пометки автора.
Это – н а т у р а л ь н ы й з в у к о р я д. Латинское natura означает «природа», «естество».
Если верхние звуки попробовать сыграть вместе, боюсь, что консонанса мы уже не услышим. Мы услышим ДИССОНАНС.
Энциклопедия:
Диссонанс – от франц. dissonanse, от лат. dissono – «нестройно звучу».
Неслитное, напряжённое о д н о в р е м е н н о е звучание различных тонов. Противоположность к о н с о н а н с у. К диссонансам относят большие и малые с е к у н д ы и с е п т и м ы, увеличенные и уменьшённые интервалы, а также аккорды, включающие хотя бы один из этих интервалов.
До конца 19 века обязательным считалось разрешение диссонанса в консонанс. С 20 века применяют диссонансы и без их разрешения.
…Да, за диссонансами и до шумов недалеко. До хаоса.
Но ведь г а р м о н и ч е с к и й звукоряд превращается в это! Парадокс!
Хотя, теория хаоса утверждает, что если этот самый хаос предоставить самому себе, в нём опять образуется порядок! Вот такой наш мир, наша жизнь: то консонансы, то диссонансы, то снова консонансы… Такая странная гармония.
Ты понимаешь, чтó мы сейчас делаем?
Конечно, мы играем.
Но уже не только в Узел. В игру внутри игры. Игра – В Пифагора.
В эту игру начали играть спустя 200 лет после Пифагора. Учёные: философы, математики, астрономы-космологи. Все – словно следователи: разгадывают его мысли по обрывочкам древних текстов о его математике и космологии, о его легендарной жизни.
А ещё мы пополняем наше «Досье на тональности», раздел «Родословная»: первопредок ТОН.
И это всё – ну конечно же, о музыке!
***
…Задолго-задолго-задолго до Пифагора тоже была музыка. Какою она была?
Улетела вместе с волнами Времени!
А вот кое-какие знания о ней остались и во времена Пифагора.
Самый-самый древний музыкальный строй в Древней Греции, оказывается, был основан на …пентатонике («пента» – «пять», «тон» – «звук»). Откуда эта пентатоника попала в Древнюю Грецию? Из Древнего Египта, где Пифагор постигал всяческие науки у жрецов больше 20 лет? (А Древний Египет куда древнее Древней Греции! З тыс. лет до н.э.) А в Древний Египет из Персии – через евреев? А в Персию – из Вавилона? (Да Пифагор и сам 12 лет учился у вавилонян.) А Вавилон воздвиг своё царство на земле ещё более древней цивилизации (4 тыс.лет до н.э.) – шумеров. О шумерах остались невероятные легенды (в их числе – о высоком развитии науки и техники), от них же – таблички с решениями уравнений! И пентаграммы, пентагоны… Даже в роли печатей на важных документах. У греков каким-то образом было сообщение и с Китаем, цивилизация которого насчитывает ок. 5 тыс. лет до н. э. А Китай – это вообще страна поклонения пентатонике.
Как бы то ни было, Пифагору предстояло соединить свои открытия с
о ч е н ь древними знаниями о мире.
Вот вопрос: интересно, как обозначали музыкальные звуки тысячелетия назад?
Мы привыкли к нотам и буквенным знакам. Но как же прежде?
Может быть, воспользоваться пентагонами-узлами – не такая уж странная идея. Для древних культур это был универсальный знак. А инки узелками могли изложить и обычные сообщения, и математические расчёты, и даже теорию цвета, и знания о космосе…
Возможно, сами свойства названных фигур являлись ключом к познанию всего. Возможно…
Пифагор и его орден (сообщество его единомышленников и учеников) поклонялись пентаграмме. Ты об этом знаешь.
Будем действовать. Экспериментировать.
…Грекам была известна диатоника – звукоряд, образованный квинтами.
ФА – ДО – СОЛЬ – РЕ – ЛЯ – МИ – СИ .
В таком порядке, почему-то, называют звуки диатоники-гептатоники («семитоники»). Не от «до», а от «фа».
Представляешь, какой же это размашистый звукоряд! Нам понадобилась клавиатура, чтобы прошагать по этому ряду звуков. По лестнице квинт.
У Пифагора не было клавиатуры. Первая клавиатура появилась спустя почти тысячу лет после Пифагора.
Клавиатуры не было, а диатоника – была.
Ну и давай попробуем представить её с помощью узелков-пентагонов.
Рис. и автора.
А теперь пропустим нижние узлы. Нам, по законам обертонов струны и природного звукового ряда, можно двигаться только в одну сторону: выше, а значит – вправо. А нижние узлы – левые: движение влево, и… снова вправо.
Но мы всё-таки будем следить за этими нижними узлами, не будем терять их из виду. На всякий случай.
Рис. автора.
Можем продолжить эксперимент: перевернуть ленту из узлов. Нижние станут верхними.
Рис. автора.
Потом можно опять перевернуть, и опять перевернуть.
Эти перевёртыши– повороты-вращения, похожие на перекрёсты и обратную пропорциональность, сотворят, наконец-то, привычный звукоряд:
ДО – РЕ – МИ – ФА – СОЛЬ – ЛЯ – СИ.
Диатоническая гамма.
(…перевернуть)
Рисунки автора.
Что будет, если продолжить ленту ?
Мы сможем это сделать, если совершим одну операцию: перевернём будущее продолжение ленты (такой же её отрезок, как предыдущий: удвоение!) на 180˚, – как это много веков спустя после Пифагора сделал со своей лентой Фердинанд Мёбиус.
Пифагор, безусловно, ничего не мог знать о Мёбиусе. Но он жил в пространстве всё тех же законов природы, что и Мёбиус. И мы живём всё там же. И экспериментируем.
Модель автора.
Эту ленту теперь спокойно можно замкнуть в кольцо. И путешествовать по двум поверхностям попеременно, как по одной, – но по обыкновенному кольцу.
Мёбиус наоборот?
Модель автора.
И ещё одно любопытное наблюдение: каждая нота/звук попеременно оказывается то в «фазе», то в «противофазе». Как волна.
Рис. автора.
(Лат. phasis – «появление», определённый момент в ходе развития какого-либо процесса.)
Давай вглядимся в процесс, который происходит в кольце с каждым звуком/тоном.
Каждый звук/тон через в о с е м ь шагов обретает своё повторение-совпадение, созвучие – к о н с о н а н с.
А лента-кольцо – сплошной «Мёбиус»: ведь каждый замкнутый узел (пентагон) обладает свойствами «Мёбиуса». Лента-кольцо из узлов замкнула все узлы разом.
Замкнутые в кольцо узлы-звуки произвели на свет о к т а в у: греч. «окто» – «восемь», лат. octava – «восьмая». Совершенный консонанс.
Один совершенный консонанс – квинта – произвёл на свет другой совершенный консонанс – октаву.
Если убрать пропущенные нижние левые узлы, то размашистая лента квинт сожмётся в д в о е. Как окружности в геометрической прогрессии!
(О, прости, вот в этом самом месте мою мысль просто-таки примагнитило к одной увлекательной идее. Через несколько страниц/листочков вернёмся к Пифагору.)
