Методика преподавания математики в начальной школе
ТекстI способ состоит из трех операций и выполняется по аналогии со сложением – по частям:
1) вычитаемое представляется в виде двух чисел, одно из которых равно разрядным единицам уменьшаемого (теоретическая основа – состав однозначных чисел, раскрытый в таблице сложения в пределах десятка);
12 – 7 = 12 – (2 + 5) =
2 5
2) из уменьшаемого вычитаем число равное единицам уменьшаемого до десятка (теоретическая основа – разрядный состав двузначных чисел);
= (12 – 2) – 5 =
3) из полученного десятка вычитаем оставшиеся единицы вычитаемого (состав числа 10 – таблица сложения в пределах 10).
= 10 – 5 = 5
Учащиеся рассуждают так: «Вычтем по частям. 7 – это 2 и 5. Из 12 вычтем 2 до 10. А теперь из 10 вычтем 5, получим 5».
II способ состоит из 2 операций:
1) уменьшаемое представляется в виде двух чисел, одно из которых равно вычитаемому (теоретическая основа – состав двузначных чисел, раскрытый в таблице сложения в пределах 20);
12 – 7 = (7 + 5) – 7 =
7 5
2) вычитание из суммы чисел слагаемого равного вычитаемому (теоретическая основа: особый случай вычитания – а – а =0).
(7 – 7) + 5 = 5
Учащиеся при этом рассуждают так: «12 – это 7 и 5. Значит, если из 12 вычесть 7, то получим 5». Так рассуждают дети.
– Найдите в учебнике Математика.1 класс. 2 часть урок, раскрывающий приемы вычитания.
– Чем изложенный материал на странице учебника отличается от представленного преподавателем?
Арифметические действия
и методика их изучения в курсе математики начальной школы.
Формирование вычислительных навыков
у учащихся начальной школы
Теоретико-множественный смысл произведения
План:
I. Теоретико-множественный смысл произведения целых неотрицательных чисел. Теоретико-множественный смысл равенств
0 × а = а
и
а × 0 = 0.
II. Теоретико-множественный смысл свойств умножения.
I
. Теоретико-множественный смысл произведения целых неотрицательных чисел.
Теоретико-множественный смысл равенств
а × 1= а
и
а ×
0 = 0.
В школьном курсе математики используется определение умножения, которое связывается со сложением одинаковых слагаемых:
Если
а
и
b
– целые неотрицательные числа, то произведением
а
×
b
называется число, удовлетворяющее следующим условиям:
1)
а
×
b
= а + а + . . . + а + а, при
b
> 1;
b
раз
2)
а
×
b
= а, при
b
= 1;
3)
а
×
b
= 0, при
b
= 0.
Первое условие можно обосновать с теоретико-множественной точки зрения так.
Если множества
А
1
, А
2
, …, А
b
имеют по
а
элементов каждое, причем никакие два из них не пересекаются, то их объединение
А
1
UА
2
U …U А
b
содержит
а
×
b
элементов.
Таким образом, с теоретико-множественной позиции
произведение
а
×
b
, при
b
> 1, представляет собой число элементов в объединении
b
множеств, каждое из которых содержит по а элементов и никакие два из них не пересекаются:
а
×
b
=
n
(А
1
U А
2
U …U А
b
), если
n
(А
1
) =
n
(А
2
) = …
=
n
(А
b
)= а и А
1
, А
2
, …, А
b
попарно не пересекаются.
Такой подход позволяет обосновывать выбор умножения при решении текстовых задач, связывая умножение натуральных чисел с операцией объединения.
Каждому ребенку дали по 3 конфеты. Сколько конфет у четырех детей?
Выясним выбор действия для ответа на вопрос этой задачи.
В задаче речь идет о четырех множествах, в каждом из которых три элемента. Требуется узнать число элементов в объединении этих четырех множеств. Если
n
(А
1
) =
n
(А
2
) =
n
(А
3
)=
n
(А
4
)= 3,
то
n
(А1 U А2 U А3 U А4) =
n
(А
1
) +
n
(А
2
) +
n
(А
3
) +
n
(А
4
)= 3 + 3 + 3 + 3= 3 × 4.
Произведение 3 × 4 является математической моделью данной задачи. Т.к. 3 × 4 = 12, то получаем ответ на вопрос: у четырех детей 12 конфет.
Существует другое толкование умножения с теоретико-множественной позиции, которое связано с понятием декартова произведения множеств.
Этот подход следует из теоремы:
Пусть
А
и
В
конечные множества. Тогда их декартово произведение также является конечным множеством, причем выполняется равенство:
n
(
A
×
B
) =
n
(
A
)
·
n
(
B
).
Тогда
A
×
B
состоит из пар вида
(
a
,
b
), (
a
,
b
), …, (
a
,
b
)
, число которых равно
n
.
Если
n
= 1
, то
n
(
A
)= а,
n
(
B
) = 1,
то в этом случае имеем:
n
(
A
×
B
) =
n
(
A
)
·
n
(
B
) = а · 1 = а.
При
k
= 0
данное равенство также верно, поскольку
B
= Ø
и
n
(
A
×
Ø
) =
n
(
A
)
·
n
(
Ø
) = а · 0 = 0.
Из этого следует, что с теоретико-множественной с теоретико-множественной точки зрения
произведение а ·
b
целых неотрицательных чисел есть число элементов в декартовом произведении множества А и В, таких, что а =
n
(
A
),
b
=
n
(
B
):
а ·
b
=
n
(
A
)
·
n
(
B
) =
n
(
A
×
B
).
II
. Теоретико-множественный смысл свойств умножения
Благодаря такому подходу и смысл свойств умножения как арифметического действия:
1) коммутативное свойство –
а ·
b
=
b
·
a
,
2) ассоциативное свойство – (
а ·
b
)
·
c
=
a
·
(
b
·
c
),
3) дистрибутивное свойство –
(
a
+
b
)
·
c
=
a
·
c
+
b
·
c
.
1) Смысл равенства
а ·
b
=
b
·
a
Хотя множества
A
×
B
и
В
× А
различны, они являются равномощными: каждой паре (а, b) из множества
A
×
B
можно поставить в соответствие единственную пару
(
b
,
a
)
из множества
В × А
, и наоборот. Значит,
n
(
A
×
B
) =
n
(В ×
A
)
и поэтому
а ·
b
=
b
·
a
.
а ·
b
=
n
(
A
×
B
) =
n
(В ×
A
) =
b
·
a
2) Ассоциативность (
а ·
b
)
·
c
=
a
·
(
b
·
c
)
доказывается аналогично.
Множества
A
× (
B
×
С)
и
(
A
×
B
)
×
С
различны, но равномощны: каждой паре (а, (b, с)) из множества
A
× (
B
×
С)
соответствует единственная пара ((а, b), с) из множества
(
A
×
B
)
×
С
и наоборот. Поэтому
n
(
A
× (
B
×
С)) =
n
((
A
×
B
)
×
С),
а следовательно
a
(
b
c
)=
(
а
b
)
c
.
3)
Дистрибутивность умножения относительно сложения
выводится из равенства *
А ×(В U С) = (А × В) U (А × С),
а вычитания из равенства
А ×(В \ С) = (А × В) \ (А × С).
(
Ұ
а
, b,c Є Z)
a · (b + c)= a· b + a·c
(a +b) · c= a·
с
+ b ·c
а =
n
(
A
),
b
=
n
(
B
), с =
n
(С):
Если А умножить на В и С, то А ×(В U С) = (А × В) U (А × С)
a
·
(
b
·
c
) =
n
(
A
) ×
n
(В
U
С) =
n
(
A
×(В
U
С))
=
n
((А × В) U (А × С))=
на основе рав.*
=
n
(А × В) +
n
(А × С) =
a·
b
+
a·c
Таким образом, умножение определяется через сложение, а особые случаи умножения с нулем принимаются по определению:
а · 1 = а, а · 0 = 0
.
Теоретико-множественный смысл частного
План:
I. Теоретико-множественный смысл частного целых неотрицательных чисел.
II. Теоретико-множественный смысл правил деления суммы на число и числа на сумму.
III. Теоретико-множественный смысл отношений «больше в», «меньше в».
IV. Теоретико-множественный смысл деления с остатком.
I
. Теоретико-множественный смысл частного целых неотрицательных чисел
С теоретико-множественной точки зрения деление чисел – операция обратная умножению и
связывается с разбиением конечного множества на равночисленные попарно непересекающиеся подмножества
и с его помощью решаются задачи двух видов:
– деление на равные части (нахождение числа элементов в каждом подмножестве разбиения);
– деление по содержанию (отыскание числа таких подмножеств).
Если а =
n
(
A
) и множество А разбито на
попарно непересекающиеся равночисленные подмножества и если:
b – число подмножеств, то частное а : b – число элементов в каждом подмножестве;
b
– число элементов в каждом подмножестве, то частное а :
b
– число таких подмножеств.
В соответствии с этим обосновывается выбор арифметического действия для решения задач:
а)
Мама дала Пете 15 орехов. Он раздал поровну своим друзьям – Диме и Сереже, а также себе. Сколько орехов получил каждый мальчик?
В задаче рассматривается множество, в котором 15 элементов – орехов. Это множество разбивается на 3 равночисленных подмножества, т.к мальчиков трое. Требуется узнать число элементов в каждом таком подмножестве. Это число можно найти с помощью деления: 15 : 3. Вычислив значение этого выражения, получаем ответ на вопрос задачи: каждый мальчик получил по 5 орехов.
б)
Доктор раздал 12 таблеток витаминов
по
3 каждому ребенку. Сколько детей получили таблет
ки витаминов?
Множество из 12 элементов разбивается на подмножества, в каждом из которых по 3 элемента. Требуется узнать число таких подмножеств. Его можно найти с помощью деления: 12 : 3. Вычислив значение этого выражения – 12 : 3 = 4, получаем ответ на вопрос задачи: таблетки получили четыре ребенка.
II
. Теоретико-множественный смысл правил деления суммы на число и числа на сумму
В математике при различных вычислениях пользуются правилами деления суммы на число. Дадим теоретико-множественное обоснование этим правилам.
Правило деления суммы на число:
Если частные
а : с
и
b
: с
существуют, то
(а +
b
) : с = а : с +
b
: с.
Пусть
а =
n
(
A
),
b
=
n
(
B
)
и
A
∩
B
= Ø
. Если множества
А
и
В
можно разбить на равночисленные подмножества, состоящие из
с
элементов каждое, то и объединение этих множеств допускает такое же разбиение. Если при этом множество
А
состоит из
а : с
подмножеств, а множество
В –
из
b
: с
подмножеств, то
А U В
состоит из
а : с+
b
: с
подмножеств. Это и значит, что
(а +
b
) : с = а : с+
b
: с.
III
. Теоретико-множественный смысл отношений «больше в», «меньше в»
С теоретико-множественной точки зрения рассматриваются и отношения «больше в», «меньше в», которые рассматриваются в текстовых задачах.
В аксиоматической теории определение этих отношений вытекает из определения натуральных чисел: если
а :
b
=
c
, то можно говорить,
что
«а больше
b
в с раз»
или что
«
b
меньше а в с раз».
И чтобы узнать, во сколько раз одно число больше или меньше другого, надо большее разделить на меньшее.
Если
а =
n
(
A
),
b
=
n
(
B
)
и известно, что
«а меньше
b
в с раз»,
то поскольку
а <
b
, то в множестве
В
можно выделить собственное подмножество, равномощное множеству
А
, но так как
«а меньше
b
в с раз»,
то множество
В
можно разбить на
с
подмножеств, равночисленных множеству
А
.
Так как
с
– это число подмножеств в разбиении множества
В
, содержащего
b
элементов, а в каждом подмножестве –
а
элементов, то
с =
b
: а.
а) У Дениса было 3 тетрадей в клетку, а в линию в 4 раза больше. Сколько тетрадей было у Дениса?
В задаче речь идет о двух множествах: множестве тетрадей в клетку
(А)
и множестве тетрадей в линию
(В).
Известно, что
n
(
A
) = 3
и что в множестве
В
элементов в 4 раза больше, чем в множестве
А
. Требуется найти число элементов в множестве
В, т.е.
n
(
B
)
.
Т.к. в множестве
В
элементов в 4 раза больше, чем в множестве
А
, то множество
В
можно разбить на 4 подмножества, равномощных множеству
А
. Поскольку в каждом подмножестве содержится по три элемента, то всего в множестве
В
будет содержатся четыре раза по 3 элемента:
3 + 3 + 3 + 3
или
3 × 4
элементов. Выполнив вычисления, получаем ответ на вопрос задачи: тетрадей в линию у Дениса 12.
А
В
б) У Дениса 10 солдатиков, а у Толи в 2 раза меньше. Сколько солдатиков у Толи?
В задаче речь идет о двух множествах: множестве солдатиков у Дениса
(А)
и множестве солдатиков у Толи
(В).
Известно, что
n
(
A
) = 10
и что в множестве
В
элементов в 2 раза меньше, чем в множестве
А
. Требуется найти число элементов в множестве
В, т.е.
n
(
B
)
.
Т.к. в множестве
А
элементов в 2 раза больше, чем в множестве
А
, т.к. сказано, что в множестве
В
элементов меньше. То множество
А
Эта и ещё 2 книги за 399 ₽