Завет «темных веков». Термины и концепты Освальда Шпенглера

Числа

Понимание числа для первобытного человека было чудом. Даже понимание разницы между единичностью и множественностью – энтелехия просыпающегося сознания. Хотя и животное различает между одним, малым и многим, когда это касается его выживания. И животное можно научить счету – но не более чем до десятка. Поэтому словообразование для обозначения второго десятка очень своеобразно. И только с 20 идет общее правило дополнения десятков единицами. 20 – это по-настоящему «много».

Шпенглер полагал, что числа разграничивают природные впечатления точно так же, как имена богов разграничивают (можно сказать, «сюжетно размечают») миф. Именование богов и именование чисел – это способность человека, которую приходится признать равнобожественной. Человек называет богов! И лишь неназванные, не имеющие имен боги угрожают человеку вторжением из иных миров, чьи законы еще не прочувствованы в мире человека. Называние – это заклинание, а заклинание – это в некоторой степени подчинение. Если не Бога, то мира Божиего – наравне с самим Богом. «Именами и числами человеческое понимание приобретает власть над миром».

Природа и история у Шпенглера радикально разделены тем, что природа может подвергаться счислению и подлежит счислению, коль она так устроена. А вот история неисчислима, а потому не имеет отношения к математике. Прогноз всегда будет опровергнут, потому что будущее нам не принадлежит – мы не знаем, что оно из себя представляет. Попытка заглянуть в будущее всегда терпит неудачу, но без таких попыток переживание человеком истории невозможно. Человек скорее пытается почувствовать будущее, чем исчислить его параметры – хотя бы какие-нибудь.

Будучи знаком с современной ему математикой, Шпенглер, как ни странно, считал ее культурно зависимой – «стиль какой-либо возникающей математики зависит от того, в какой культуре она коренится, какие люди о ней размышляют». Исходя из наших представлений о математике, следует заявить, что математика – это особая культура мышления, которая в некоторой части становится доступной тем, кто избрал популярную профессию программиста. Но все же настоящая математика – это таинство иной культуры, которая выбивается из любых культурных норм.

Натуральный ряд чисел – основа математики. Да и в целом миропонимания, поскольку за каждым натуральным числом скрывается определенная «философия», акт мышления. Бесконечность познания выражена в бесконечности натурального ряда, а локальная конечность – в ограниченном наборе операторов. Как и в природе: законов мало, объектов, к которым они прилагаются – много. Проблема состоит в том, где разумно оборвать натуральный ряд, чтобы не выдумывать несуществующие объекты мышления? Скорее всего, его оборвать нельзя – если смыслы в начале ряда цепляются за каждое число, то дальше плотность смыслов падает, потому что множество цифр можно заменить так же, как и иррациональные – два числа и оператор между ними^[3].

У единицы нет физического образа. Она несет в себе все исчисление, не тревожа его в умножении и устраняя при делении любого числа или функции на себя, оставаясь незримой константой, к которой стремятся все сходящиеся ряды. Галилей писал в «Беседах»: «Если какое-либо число должно являться бесконечностью, то этим числом должна быть единица: в самом деле, в ней мы находим условия и необходимые признаки, которые должно удовлетворять бесконечно большое число, поскольку оно содержит в себе столько же квадратов, сколько кубов и чисел вообще… Единица является и квадратом, и кубом, и квадратом квадрата и т. д… Отсюда заключаем, что нет другого бесконечного числа, кроме единицы. Это представляется столь удивительным, что превосходит способность нашего представления». Безмерное понимается (точнее, метафизические предощущается) в единичном, счет – до начала всякого счета. Единица представляет мысль о целостности уникальности и божественности. Она же и основа счета – «один, один, один…» Неразличимые объекты именно так и считаются. Но стоит идентичное различить хоть в чем-то (местоположении, времени…), и счет стронется с мертвой точки: «Один, два, три…».

Пифагор полагал, что первообразы и первоначала не поддаются изложению в словах, поэтому и приходится для ясности обучения прибегать к числам… Все разнообразие окружающего мира состоит из единичных вещей и событий, и самый первый взгляд не видит в нем никакого повторения. Отсюда – первичный статус единичного во всяком познании. Единичное символизируется как число – единица. Также единица символизирует понимание личного уникального «я»: один перед Богом, и не на кого свалить свои грехи. Отпадение от Бога означает неизбежную гибель: социум уже ничем не сплотить: без Бога одиночные «я» теряют понятие греха и связь с другими «я» через Бога. Только в Боге создается единодушие, единочувствие, целостность – что пифагорейцы называли Единицей (Порфирий, «Жизнь Пифагора»).

Как только появляется различие, неравенство, разделение, у пифагорейцев обнаруживается понятие о Двоице. Число «2» обнаруживается в виде отрицательной степени расстояния в законе всемирного тяготения и законе притяжения разноименных зарядов с «божественной» точностью, как только мы определяемся, что поле распространяется в трехмерном пространстве. То есть, точность здесь – не результат исчисления или теории, а результат конвенции.

В геометрии теорема Пифагора стала переходом в двумерное пространство из актуальной одномерности – громадным рывком мысли, переоткрытием природы, не случайно оставшимся таинством пифагорейской секты. Теорема Пифагора была прорывом – восстановлением божественной природы чисел, которая была поколеблена видимой невозможностью иррационального числа, представляющего диагональ прямоугольника, поразившей Пифагора настолько, что он счел это открытие сакральным знанием об ограниченности способностей богов.

Шпенглер напоминает про странный позднегреческий миф, согласно которому тот, кто впервые нарушил тайну рассмотрения иррационального и предал ее гласности, погиб при кораблекрушении, «поскольку нескáзанное и безóбразное всегда должны пребывать сокрытыми». «Кто почувствует страх, лежащий в основе этого мифа, – тот самый страх, который постоянно отпугивал греков наиболее зрелого времени от расширения их крохотных городов-государств в политически организованные ландшафты, от устройства широких улиц и аллей с открытыми видами и рассчитанной отделкой, от вавилонской астрономии с ее проникновением в бесконечные звездные пространства и от использования средиземноморских путей, давно открытых кораблями египтян и финикян, – глубокий метафизический страх перед растворением осязаемо-чувственного и настоящего, того именно, чем античное существование как бы огораживало себя защитной стеной, за которой дремало что-то леденящее, бездна и первопричина этого в известной степени искусственно смастеренного и утвержденного космоса, – кто уяснит себе это чувство, тому откроется также последний смысл античного числа, меры, противопоставленной безмерному, и высокий религиозный этос, заключенный в его ограничении».

Земли у греков было много, но плотная застройка минимизировала затраты на оборону – сооружение стен. Хотя многие города обходились без стен, плотная застройка сама становилась оборонительными рубежами. Ужасные существа и могучие разбойники – это предания микенских времен. Грек их слушал как сказку, но в реальности знал, что путь до соседнего города безопасен, пока нет войны. Безмерность была чужда древнему греку так же, как и современному человеку со смартфоном в руках. Она – предмет размышлений узкого круга людей со сверхчеловеческими задачами.

Вернувшись к «двойке», мы должны увидеть в ней саму возможность мышления, подтвержденную бинарным кодом – наиболее удобным для устройств быстрого счета. Скорость операций перекрывает примитивность кода, состоящего из «нуля» (нет сигнала) и «единицы» (есть сигнал). Сама логика с законом исключения третьего – это тот же бинарный код: «А» и «не А», а третьего не дано. До тех пор, пока сама мысль не создаст зазор между «А» и «не А». Что уже есть посягательство на божественный порядок, где есть только «да» и «нет», а остальное – от лукавого.

Бинарная сущность пола очевидна своими зримыми признаками, но скрыто предопределена генетической разницей мужского и женского, из которого следует масса смыслов, усекаемых извращенцами «третьего пола» и сторонниками замены синтеза мужского и женского бесполыми: родителем-1 и родителем-2.

В теореме Ферма «2» становится определенным рубежом. Более высокие степени для целых чисел невозможно разбить на два целых числа в такой же степени. Теорема была сформулирована в 1637 году, а решена Эндрю Уайлсом с коллегами в 1995 году (публикация на 130 страницах). Поиски доказательства свели с ума тысячи математиков и закончились, когда созрели новейшие математические методы. Сам Ферма привел доказательства только для 4, позднее другие математики доказали теорему для 3, 5, 7. Затем нашлось доказательство для всех простых чисел меньше 100. Наконец, теорема была доказана, и это потребовало продвижения в целом ряде математических дисциплин.

«Тройка» – первый выход мышления за очевидный и удобный предел. Это порождение – из закона логики, из закона пола, возвышение над привычной для ощущения двумерностью образов окружающего мира. Восточная мысль определяет число «3» как магическое, поскольку в теле человека отсутствует что-либо в количестве трех. У пифагорейцев магия Тройки заключается в том, что любой процесс имеет начало, середину и конец.

С «тройки» начинаются чудеса. Из равнобедренных треугольников можно сложить паркет, из квадратов – тоже. Из треугольников и квадратов можно сложить объемные фигуры. А из правильных пятиугольников нельзя сложить ни паркет, ни объемную фигуру. Треугольник в виде тетраэдра прорывается в объем. Но для этого нужно четыре треугольника. Квадрат прорывается в объем только в наборе из шести штук. А пятиугольник «проскакивает» трехмерное измерение и «уходит» далее – в четырехмерное пространство, которое не постигнуть чувственным опытом. Оно уже полностью умозрительно. Но стоит добавить к пятиугольникам треугольники, и снова можно «опуститься» в двумерное пространство и сложить паркет.

«Четверка» существует в трехмерном пространстве как тетраэдр, который создает жизнь, основанную на четырехвалентном углероде. Четверке пифагорейская традиция приписывает устойчивость и статическую целостность. Восточные суеверия считают это число «плохим» (примерно так же, как число 13). В буддизме 4 благородные истины (нечто существует, не существует, существует и не существует одновременно, не может рассматриваться ни как существующее, ни как несуществующее). В христианском символизме указывается на стороны света и полноту вездеприсутствия, в талмудическом ритуализме – в различных правилах.

Соотношение сторон прямоугольного треугольника в виде 3:4:5 – единственное для последовательных целых чисел (пифагорова тройка). Хотя есть трехмерный аналог теоремы Пифагора для прямоугольного тетраэдра, но «пифагоровой четверки» не существует. Равная разница между прилегающими к прямому углу гранями с соотношением n: (n+1): (n+2): (n+3) существует только при значении площади меньшей грани √2.

«Четверка» и «пятерка» всплывают в числе измерений (независимых координатных осей), которые считаются счетными, но, наверняка, можно построить какую-нибудь модель с дробным, иррациональным или мнимым числом измерений. Знаменитая «гипотеза Пуанкаре», которая (как считается) была доказана Григорием Перельманом, в 1–3 измерениях тривиальна, в ситуации свыше 6 измерений решается просто, поскольку для этого много «степеней свободы», а самое сложное решение – для 5 измерений, пришлось на долю российского ученого-чудака, который отказался от положенной ему премии в миллион долларов, считая, что ему деньги не нужны, коль скоро он знает, как устроена Вселенная.

«Шестерка» – в виде бензольного кольца уникальна тем, что ничего подобного другие числа в окружающем нас мире не предлагают. А «шестерка», оставаясь «плоской» конструкцией, порождает массу «двумерных» веществ – от духов до тротила. Платоновская нумерология предполагает, что число 6 символизирует Творца, а число 7 – строение мира. Последнее, вероятно, связано с тем, что невооруженный человеческий глаз видит, помимо звезд, семь небесных объектов – Солнце, Луну и еще пять планет.

«Десятку» пифагорейцы считали совершеннейшим числом, в котором присутствуют все отношения и подобия между числами. Для нас 10 – основа десятеричной системы счисления.

Простые числа в полярных координатах (n, n) образуют на плоскости архимедовы спирали – 2, если рассматривать точки на плоскости вблизи начала координат, и 20, если включить в картинку несколько тысяч точек. Дальнейшее увеличение числа включенных в картинку формирует на ней 280 лучей. Та же картинка будет и с целыми числами, но при более плотном заполнении пространства линии зрительно сливаются. Важно, что здесь проявляется «сакральное» число 20 – для ситуации с простыми числами.

Современная наука вполне может считать «20» «священным числом» – это количество видов аминокислот в белке. Как и число 23 – количество хромосом, которые передаются каждым родителем ребенку (всего 46 хромосом). Нечетное значение определяет различие вклада в наследственность от дедов и бабок (чего нет у человекообразных обезьян – с 24 хромосомами). Кроме того, в теле человека 23 межпозвоночных хряща, а в руке человека 23 сустава.

Мы не можем знать, что означают некоторые сакральные цифры. Если не считать цифры, образованные дюжинами и десятками (а также их целыми долями), то самое распространенное число в Библии – 42, в раввинской литературе – 72.

В Евангелии от Иоанна указывается число 153 (тщательно пересчитанное число рыб в сети), которое не имеет объяснений. Это «число Армстронга» (одно из четырех трехзначных), равное сумме возведенных в куб цифр, составивших это число. Или же сумма натуральных чисел от 1 до 17.

В «Апокалипсисе» число 666 также обладает неизвестными нам свойствами – его религиозное значение нам не открыто.

В диалоге Платона «Тимей» творец Вселенной разделил единое на множество частей, сообразно тщательно описанному, но не вполне ясному плану, который доходит до учета соотношения частей 256 к 243. Первое число это 4⁴ = 2⁸ (а также число значений одного байта), второе число это З⁵.

В «Законах» Платон приводит желаемое число жителей города – 5040, которое имеет 59 делителей. Большое число делителей считается преимуществом, поскольку удобно объединять людей в равные по численности группы – в зависимости от стоящих перед городом задач. На востоке такие числа пользовались репутацией священных – число бусинок в четках 108 (число имен Шивы в индуизме, число греховных страстей в буддизме – соответствует числу мантр).

Число мыслится отвлеченно или в виде образа до тех пор, пока к нему не прилагается естественнонаучная концепция. И тогда математическая теория обретает почву под ногами и используется вместе со всеми своими доселе «бесполезными» достижениями. Удивительно, но мир-природа почти всегда (или: рано или поздно) находит свое «нумерологическое» выражение. «Сакральные» наборы чисел открываются в квантовой физике с использованием математической теории групп симметрии, а тензорное исчисление превращается в удобный формализм для создания общей теории относительности.

Выделенные самой природой числа отражаются различной степенью распространенности химических элементов во Вселенной. Некоторые атомы со своим набором протонов и нейтронов в ядрах оказываются более устойчивыми, чем все остальные – гелий, кислород, кальций, железо (атомные веса – 4, 16, 40, 56). Но зато особо дороги для нас такие элементы таблицы Менделеева, которые менее устойчивы и позволяют извлечь из них энергию.

Может быть, сложность физической картины мира когда-то сведется к геометрическим соотношениям, а пока фундаментальные физические постоянные поражают нас своей устойчивостью, которая позволяет существовать нашей Вселенной, зарождаться жизни, порождать познающего эту Вселенную человека. Дополнительно некоторые постоянные удивляют нас «почти точными» значениями: постоянная тонкой структуры «почти точно» 1/137 (впрочем, это опять конвенция), постоянная Авогадро – «почти точно» 6*10²³, скорость света в вакууме удивительно близка к числу 300.000 км/с (2,9979). И так далее. Может быть, нам стоит «подтянуть» нашу систему единиц к точным значениям, и тогда мир покажется не таким сложным.

К чему все это? – вправе озадачиться читатель. А к тому, что таинство числа – это техника науки. Пока цивилизация оперирует числами – в сакральных и научных дисциплинах, она ищет смыслы и истины. И расцветает. Если же все это в вопросе о судьбе цивилизации «ни к чему», то это ответ гибнущей цивилизации. Неслучайно Шпенглер пытался найти для каждой культуры (цивилизации) свой стиль оперирования с цифрами. Не нашел, но пытался. И это говорит о том, что в его философии цивилизация жива. А когда от цифр остается только подсчет расходов и доходов, то цивилизация мертва – ее не привлекает мир чисел и не интересуют те, кто исследует этот мир, предощущая в нем открытия мир-природы.

Иррациональность и трансцендентность

Для простейшего счета все числа равноценны. Подступая к божественному знанию, мы видим, что среди них есть особенные, имеющие собственные «задачи». Но в иных измерениях натуральный ряд цифр – сложен, а фундаментальные иррациональности просты и составляют целый класс прозрачных истин.

Шпенглер полагал, что в архитектуре древних греков и готических соборов явлена евклидова геометрия. Но это ошибка. Греки как раз заложили основу поправок к геометрии с учетом зрительных искажений. Они не строили фундаменты храмов по линейке, поскольку тогда взгляд со стороны делал бы их искривленными. Парфенон вобрал в себя множество подобных архитектурных уловок. Простейшая геометрия для архитектора – только самый примитивный уровень его искусства, в котором есть закономерности не только внешних форм, но и внутреннего содержания, позволяющего возводить сооружения, существующие веками.

Пифагор, – пишет Шпенглер, – изрек решающую формулу: число было для него межевым знаком ставшего. А вот Евклид, завершивший в стереометрии античную математику в 3 в. до н. э., «говоря о треугольнике, с глубочайшей необходимостью имеет в виду ограниченную поверхность тела, но никогда – систему трех пересекающихся линий или группу трех точек в трехмерном пространстве. Он характеризует линию как „длину без ширины“. В наших устах эта дефиниция была бы жалкой. В пределах античной математики она превосходна». Но что же здесь жалкого? Длина без ширины – самое короткое определение, самый компактный алгоритм для понимания. Никакого даже сравнительно компактного определения для понятия «кривая» современная математика не знает. Она занимается классами кривых, каждый раз измышляя свое – весьма нетривиальное – определение.

Шпенглер в противовес мнению Канта считал, что «западное» число «изошло не из времени, как априорной формы созерцания, но в качестве порядка однородных единиц является чем-то специфически пространственным». «Античное число не есть мышление о пространственных отношениях, но о размежеванных для телесного глаза и осязаемых единицах. Поэтому античность – это следует необходимым образом – знает только „естественные“ (положительные, целые) числа, которые среди многих в высшей степени абстрактных родов чисел западной математики, комплексных, гиперкомплексных, неархимедовских и прочих систем играют ничем не примечательную роль».

Получается, что представление об иррациональных числах и всяческих «не совсем числах» было недосягаемо для греческого ума. Евклид говорил, что несоизмеримые отрезки ведут себя «не как числа». Простой счет и простое измерение отрезков не входят в понимание сущности числа и зыбкости самого измерения, как только оно выходит в плоскость и разграничивает и размечает пространство.

Мы оспорим этот тезис. Действительно, иррациональные числа – это «не числа». Ими невозможно оперировать в общепринятой записи. Они могут записываться как два числа и связывающий их оператор, как число и оператор, порождающий последовательность чисел, в пределе приближающихся к иррациональному «числу». Поскольку исчисление иррациональности имеет смысл только до какого-то разумного предела, то упрекать греков в том, что они этого не делали – нелепо. Операциональное представление иррациональности также гораздо удобнее, если иррациональности при вычислениях «съедают» друг друга.

Трансцендентные числа не получили разрешения, подобно тому, как гипотенуза обнаружила свою сущность через дополнительное измерение в теореме Пифагора. Число «пи» не вписывается в геометрию: циркуль и линейка оказываются принципиально разными инструментами, применимыми для разных измерений, не сводимых одно к другому. Трансцендентные числа, не имеют основы в алгебраических уравнениях. Они следуют правилу: «Кривое не может сделаться прямым» (Экклесиаст). Экспонента – аналогичная «неправильность», заменяющая всюду возникающий из какого-то иного мира бесконечный ряд, сумма которого не получает счетного значения. И подобными «иномерными» объектами полны физико-математические теории. В каких-то иных измерениях они должны быть «единицами», реперами, от которых идет простейший счет.

Необычные постоянные возникают в математике совершенно неожиданно, и представляют собой скрытую конструкцию Вселенной, которая пока не дана нам в ощущении – есть только намек в математической модели. Одна из таких моделей связана с популярным, и широко вошедшим в гуманитарные науки в конце XX века термином «бифуркации».

Одна из простейших динамических систем, где происходит каскад бифуркаций – это отображение x_n+1 = r x_n (1 – x_n), которое может моделировать множество процессов (численность популяции животных, фибрилляцию сердца и так далее). В зависимости от значения параметра r может произойти бифуркация, при которой предельный цикл (достаточно большие n) удваивает свой период. При достаточно больших n значения r(n) по геометрической прогрессии сходятся к фиксированному значению а_∞, причем показатель прогрессии оказывается общим для широкого класса функций (функции с одним максимумом) x_n+1 = f(xn). Этот показатель называется первой константой Фейгенбаума и равен 4,669… почти точно 4,67. Вторая константа Фейгенбаума определяет соотношение ширины ветвей на диаграмме – 2,50… почти точно 2,5. Являются ли эти числа трансцендентными, пока неизвестно.

Трудно оторваться от загадочной картинки, которая возникает из столь простой последовательности. Образ бифуркации в данном случае демонстрирует переход от числа к имени (термину) – своего рода математическому чуду, заимствованному в других областях знания. Эта картинка также иллюстрирует переход порядка в хаос, который может быть обращен вспять: из хаоса может родиться порядок. Из математических моделей сложных колебаний возникает целый терминологический пласт, который позволяет описывать органические процессы в самых разных областях знания. Например, мы можем утверждать, что в «темных веках» точки бифуркации уже все пройдены, и мы находимся в стадии, когда хаотические компоненты бытия решающим образом преобладают над упорядоченными. Хаотизированное сознание не может видеть будущего. Но для информированного оптимиста понятно, что хаос сменится порядком, и знаки будущего при желании можно отыскать уже сейчас.

На практике трансцендентными числами можно пользоваться, считая их исчислимыми, но только до необходимого предела точности. Потому что в природе не существует ни идеальной прямой, ни идеальной окружности. Пока компьютер считает медленно, с трансцендентными числами удобно оперировать только как с символами. Но как только скорость счета оказывается достаточной, проще сразу производить «пиксельный» подсчет, пропуская символическую запись.

Особый тип трансцендентности – «то, чего не может быть» – также был приобщен к математическим методам. Комплексные числа, применение которых толком не обосновано, оказались очень удобным инструментом для решения множества математических задач. Комплексное число представлено двумя значениями – своими действительной и мнимой частью. То есть, точкой на плоскости. Простейшие рекуррентные последовательности порождают на этой плоскости удивительные фигуры, которые превращают теорию комплексных чисел из технической уловки в целый мир образов.

Наиболее популярная последовательность z_n+1 = z_n² + C, z₀= 0 формирует на комплексной плоскости множество Мандельброта с удивительными свойствами самоподобия. Последнее трудно приять рассудком, который должен смириться с тем, что бесконечно тонкой линией можно заполнить полосу на плоскости ^[4]. (Что, для «пиксельного» подхода не составляет проблемы – там линия всегда имеет толщину).

Определенные правила раскраски множества позволяют создавать фантастические картины, поиск которых стал распространенным для математиков увлечением. Но это мир не только картинок, но и целое направление в математике со своими теоремами.

Если кому-то захочется посетить иные миры и запечатлеть их в зримых образах, то для этого не требуется космолета и многих лет путешествия в пространстве – достаточно заглянуть в множество Мандельброта. Трудно придумать что-то более наглядное для демонстрации вихрей становления. Видимо, несложно внести в формулу параметр времени, чтобы самоподобные вихри пришли в движение.

Может ли современный человек оценить самоподобные миры? Нет, для него это только курьез, привлекающий внимание своей наглядностью. Что-то вроде компьютерной графики – усложненной версии анимированных картинок – мультипликации. Между тем, именно в мире математики наглядно отражено то, что должно быть в мировоззрении культурного человека: иррациональное и трансцендентное. Самоподобию же еще предстоит обосновать философский концепт.