Алгоритм решения 10 проблемы Гильберта

Решение проблемы

Самое известное уравнение Диофанта[3] это формула Пифагора[4].

Известны также так называемые «тройки Пифагора», целочисленные значения для неизвестных «a,b,c»

3,4,5; 5,12,13; 7,24,25 и т.д. Эти тройки имеют два сходства: первое – квадрат первого числа равен сумме двух других чисел, второе – разница между вторым и третьим числом равна 1. Следовательно, можно предположить, что это не случайные совпадения. Исходя из этого, составим равенства

Теперь, используя все эти формулы, составим уравнения

Подставим эти уравнения в формулу Пифагора

Получилось равенство значений правой и левой сторон уравнения. Это можно считать доказательством существования алгоритма нахождения натуральных значений «пифагоровых троек». Итак, обобщим формулы алгоритма и собственно получившийся алгоритм

Но эти формулы диофантовы лишь для нечетных чисел, хотя при постановке в формулы четных чисел для «а» также можно найти значения двух других чисел «b» «c», эти значения будут рациональными, но не целыми числами.

Пример № 1

«а»= 8

Также, применяя этот алгоритм, можно находить соответствующие значения «троек» для любых рациональных чисел.

Пример № 2

a=2,5

Так как закономерностью алгоритма является соотношение

то значение «c» можно найти, добавив к числу «b» 1

Алгоритм верен и для дробей

Пример № 3

И для квадратных корней

Пример № 4

Применяя этот алгоритм, можно находить значения практически всех троек Пифагора.