Алгоритм решения 10 проблемы Гильберта

И вновь получилась уже известная тройка 3,4,5.

На основании полученных результатов, можно записать алгоритм кратности

Осталось объединить получившиеся алгоритмы в один универсальный.

Теперь можно вычислять абсолютно все пифагоровы тройки, зная или задавая значение любого одного числа из тройки и задавая кратность уравнению.

Задача № 1

Найти значения чисел «а» и «b» в уравнении

Условия задачи

Дано:

Значение числа «с»=161

Коэффициент кратности уравнения «k»=7

Воспользуемся формулами универсального алгоритма

Проверим получившийся результат

Задача решена, числа найдены.

Задача № 2

Требуется найти натуральные значения чисел «b» и «с» для уравнения

Условия задачи

Дано:

Воспользуемся формулами, для нахождения исходных «троек»

Подставим числа в формулу

Теперь нужно привести все числа к общему знаменателю

Остается воспользоваться формулой кратности и разделить числа на коэффициент кратности,

Проверяем

Задача решена, числа найдены.

Из этой задачи видно, что знаменатель нужно помножить на числитель. Поэтому можно создать следующий алгоритм для произвольных «k» и «а».

Проверим действие этого алгоритма

Пример № 7

Алгоритм работает. Для генерации пифагоровых троек можно использовать как универсальный алгоритм, так упрошенный.

Для чисел кратным 4-ем существует еще один алгоритм. Его можно использовать для упрощенного нахождения пифагоровых троек.

Пример № 8

Получилась уже известная тройка.