Читать книгу: «Trigonometría y geometría analítica», страница 7
Solución:
La inecuación es equivalente con:
como 1 − sen x ≥ 0, la inecuación es equivalente con:
que se satisface para:
Problema 3.5.62 Resolver la inecuación:
Solución:
Como sen 2x + cos2 x = 1, elevando esta al cuadrado, se obtiene:
con esto, la inecuación planteada es equivalente con:
que se satisface para todo x salvo aquellos de la forma:
Problema 3.5.63 Resolver la inecuación:
Solución:
Se tiene:
luego la inecuación planteada es equivalente con la inecuación:
cuya solución es:
3.6Problemas propuestos
(I)Demostrar las identidades siguientes:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
(24)
(II)Demostrar que:
(III)Resolver las ecuaciones:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(IV)Resolver las ecuaciones:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
(24)
(25)
(26)
(27)
(28)
(29)
(30)
(31)
(32)
(V)Resolver la ecuación:
(VI)Resolver los sistemas:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(VII)Resolver las inecuaciones:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(VIII)Demostrar que:
3.7Respuestas capítulo 3
(III)
(IV)
(V)
(VI)
(VII)
Capítulo 4
RELACIONES EN EL TRIANGULO
Este capítulo tratará lo que hemos dado en llamar Trigonometría propiamente tal, ya que estableceremos relaciones entre los elementos primarios (lados y ángulos) de un triángulo. Además, encontraremos relaciones entre los trazos secundarios tales como alturas, bisectrices, transversales, etc., y los elementos primarios. Esto nos permitirá resolver un triángulo, es decir, dados tres elementos de un triángulo (por lo menos uno de ellos no angular), calcular los otros tres.
Extenderemos, someramente, al estudio de los cuadriláteros y polígonos en general, ya que estas figuras se pueden descomponer en triángulos.
4.1Relaciones elementales
Aquí reseñaremos las relaciones conocidas de la geometría elemental y obtendremos de ellas consecuencias trigonométricas.
Definición 4.1.1 Siendo A, B, C tres puntos no colineales se define el triángulo ABC como la unión de los trazos 
o sea:
Los puntos A, B, C se denominan vértices del triángulo ABC. (Ver la figura 4.1).
Fig. 4.1
Definición 4.1.2 Los elementos primarios de un triángulo son, respectivamente, los lados:
y los ángulos:
Considerando la figura 4.1 vemos que las longitudes de los lados del triángulo serán simbolizadas por:
y que las medidas de los ángulos se denotarán por :
Teorema 4.1.1 La suma de las medidas de los ángulos de un triángulo es de
4.1.1Clasificación de los triángulos
Tomando en cuenta los lados del triángulo, éste puede ser:
1.Escaleno, lo que significa que las medidas de los tres lados son distintas.
2.Isósceles, lo que señala que el triángulo posee dos lados de igual medida y si los tres lados son de igual medida el triángulo será:
3.Equilátero.
Pues bien, si ahora consideramos los ángulos del triángulo y el resultado dado por el teorema [4.1.1] ocurrirá que si el triángulo tiene ya sea un ángulo recto o bien uno obtuso, entonces los otros ángulos serán agudos. Por lo que un triángulo puede ser:
1.Acutángulo, cuando los tres ángulos sean agudos.
2.Rectángulo, cuando uno de los ángulos sea recto.
3.Obtusángulo, cuando uno de los ángulos sea obtuso.
4.1.2Otros conceptos y propiedades
Definición 4.1.3 Al darse un triángulo se denomina ángulo exterior de él a todo ángulo que es adyacente a un ángulo del triángulo.
En la figura 4.2 el ángulo CBD es un ángulo exterior del triángulo ABC.
Fig. 4.2
Nota:
Hacemos notar que en cada vértice de un triángulo ABC hay dos ángulos exteriores. Esto se visualiza en la figura 4.3.
Fig. 4.3
Teorema 4.1.2 La medida de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de las medidas de los ángulos interiores no adyacentes.
Nota:
Del teorema [4.1.2] se desprende el siguiente resultado:
Corolario 4.1.1 Un ángulo exterior de un triángulo es mayor que cualquier ángulo interior no adyacente.
Teorema 4.1.3 La suma de las medidas de los ángulos exteriores de un triángulo es de 360◦.
Fig. 4.4
En la figura 4.4 , el teorema anterior nos dice que si α′, β′ y γ′ son los ángulos exteriores que se muestran, entonces:
Teorema 4.1.4 (Desigualdad triangular)
En un triángulo la medida de un lado es menor que la suma de las medidas de los otros.
Teorema 4.1.5 En un triángulo a lado de mayor medida se opone ángulo de mayor medida y viceversa.
Teorema 4.1.6 Teorema del coseno
Sea ABC un triángulo cualquiera, entonces:
Teorema 4.1.7 Teorema de los senos
Sea ABC un triángulo cualquiera (cuyo circunradio es r), entonces:
Teorema 4.1.8 Teorema de las proyecciones
Sea ABC un triángulo cualquiera, entonces:
Teorema 4.1.9 Teorema de las tangentes
En un ABC un triángulo se tiene:
Teorema 4.1.10 Area del triángulo
Sea ABC un triángulo cualquiera cuya área es (ABC), entonces:
4.2Otras identidades útiles
Aquí consideraremos cualquier triángulo ABC con perímetro 2s = a + b + c; transversales de gravedad ta, tb, tc; alturas ha, hb, hc; bisectrices interiores bα, bβ, bγ; circunradio r; inradio ρ y exradios ρa, ρb, ρc.
Teorema 4.2.1 Fórmulas de Briggs
Sea ABC un triángulo cualquiera, entonces:
Teorema 4.2.2 Area de un triángulo
Sea ABC un triángulo cualquiera con área (ABC), entonces:
Teorema 4.2.3 Transversales de gravedad de un triángulo
Sea ABC un triángulo cualquiera, entonces:
Teorema 4.2.4 Alturas de un triángulo
Sea ABC un triángulo cualquiera, entonces:
Teorema 4.2.5 Bisectrices interiores de un triángulo
Sea ABC un triángulo cualquiera, entonces:
Teorema 4.2.6 Circunradio de un triángulo
Sea ABC un triángulo cualquiera, entonces:
Teorema 4.2.7 Inradio de un triángulo
Sea ABC un triángulo cualquiera, entonces:
Teorema 4.2.8 Exradios de un triángulo
Sea ABC un triángulo cualquiera, entonces:
4.3Problemas resueltos
Problema 4.3.1 Demostrar el teorema [4.1.6] del coseno en el caso:
Solución:
En la figura 4.5, tenemos el triángulo ABC con γ < 90◦, luego:
y en la figura 4.6, el triángulo ABC es tal que 90◦ < γ < 180◦, luego:
Fig. 4.5
Fig. 4.6
En el primer caso resulta ha = bsen γ y CD = b cos γ y en el segundo ha = bsen (π − γ) = bsen γ y CD = b cos(π − γ) = −b cos γ, por lo tanto, en ambas situaciones, al hacer los desarrollos, se consigue:
Problema 4.3.2 Demostrar que en un triángulo ABC se tiene que:
Solución:
Del teorema del coseno tenemos:
sumando estas tres igualdades, miembro a miembro, resulta:
de ello:
Problema 4.3.3 Demostrar el teorema [4.1.7] de los senos:
Solución:
Fig. 4.7
Fig. 4.8
Considerando la figura 4.7 , donde γ < 90◦, se dibujó la circunferencia circunscrita al triángulo ABC y el punto A′ diametralmente opuesto con el punto A, de ello se concluye que c = 2rsen γ, se deduce, entonces que:
Los otros casos se demuestran en forma análoga.
Tomando ahora la figura 4.8, donde 90◦ < γ < 180◦, se dibujó la circunferencia circunscrita al triángulo ABC y el punto A′ diametralmente opuesto con el punto A, se deduce que c = 2rsen (π − γ) = 2rsen γ, siguiéndose de ello el resultado.
Problema 4.3.4 Demostrar que en un triángulo ABC se tiene:
Solución:
Tenemos:
Problema 4.3.5 Demostrar el teorema [4.1.8] de las proyeciones en el caso:
Solución:
Fig. 4.9
Fig. 4.10
En figura 4.9 es claro que c = a cos β + b cos α y en la figura 4.10 resulta c = b cos α − a cos(π − β) = a cos β + b cos α·
Problema 4.3.6 Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:
Solución:
Se tiene que:
luego:
Problema 4.3.7 Demostrar la fórmula de Briggs (Teorema [4.2.1]):
Solución:
Del teorema del coseno resulta:
pero:
además, se sabe que:
De (1), (2) y (3) resulta:
con lo que:
Problema 4.3.8 Demostrar el teorema [4.1.10], es decir, el área del triángulo ABC es:
Solución:
Fig. 4.11
Fig. 4.12
Considerando que el área del triángulo ABC es:
Pero, en la figura 4.11 (γ < 90◦ se tiene:
y en la figura 4.12 (90◦ < γ < 180◦) resulta:
De (1), (2) y (3) obtenemos:
Problema 4.3.9 Demostrar el teorema [4.2.7], o sea que en un triángulo ABC se cumple que:
Solución:
Sabemos que 
de ello se concluye que:
y como:
se obtiene:
Las restantes se demuestran por analogía.
Problema 4.3.10 Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:
Solución:
Partiendo del lado derecho de la identidad y utilizando los resultados del teorema de las proyecciones para los lados c y b, respectivamente, resulta:
Problema 4.3.11 Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:
Solución:
Comenzando con el lado derecho y recordando tanto el teorema de los senos como el de las proyecciones, se consigue:
Problema 4.3.12 Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:
Solución:
Partimos con de la hipótesis y utilizamos el teorema del coseno, resultando γ = 60◦ ⇒ c2 = a2 + b2 − ab. Ahora tenemos:
Por otro lado tenemos:
De (1) y (2) obtenemos el resultado.
Problema 4.3.13 Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:
Solución:
En primer lugar trabajaremos con el lado izquierdo, utilizando el teorema de los senos, obteniéndose:
Por otro lado, ocupando nuevamente el teorema de los senos junto con recordar que α + β = π − γ, tendremos:
De (1.1) y (1.2) se concluye el resultado.
Problema 4.3.14 Demostrar el teorema [4.1.9] de las tangentes en el caso:
Solución:
Al utilizar el teorema de los senos, resulta:
Problema 4.3.15 En un triángulo ABC demostrar que:
Solución:
Del teorema de los senos tenemos que:
y como α = 2β, conseguimos:
de donde:
pero, por el teorema del coseno tenemos:
de (3) y (4) resulta:
Problema 4.3.16 Si el doble del cuadrado del diámetro de la circunferencia circunscrita a un triángulo ABC es equivalente a la suma de los cuadrados de los lados del triángulo, entonces:
Solución:
Tenemos:
de donde:
Problema 4.3.17 Si en un triángulo ABC se tiene que a cos β = b cos α, entonces el triángulo es isósceles.
Solución:
Del teorema de las proyecciones tenemos que:
también:
Pero, por hipótesis a cos β = b cos α, y luego:
con lo que el triángulo es isósceles.
Problema 4.3.18 Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:
Solución:
Del teorema de los senos tenemos que:
Pero:
luego:
Problema 4.3.19 Resolver el triángulo ABC teniéndose los datos:
(Caso (a , ℓ , a).)
Solución:
Considerando la figura 4.13, en ella tenemos que los datos son:
Luego, a partir de ellos se consiguen los elementos restantes por medio de:
Fig. 4.13
Nota:
Como ejemplo, dejamos al lector resolver el caso numérico:
Respuesta: a = 66, 41; b = 72, 72; γ = 34◦54′22″.
Problema 4.3.20 Resolver el triángulo ABC teniéndose los datos:
(Caso (ℓ , a , ℓ).)
Solución:
Considerando la figura 4.14 tenemos que los datos son b, α, c, luego, a partir de ellos se consiguen los elementos restantes por medio de:
Fig. 4.14
Nota:
Como ejemplo, dejamos al lector resolver el caso numérico:
Respuesta: a = 55, 66; β = 68◦12′4.56″; γ = 48◦47′55.44″.
Problema 4.3.21 Resolver el triángulo ABC teniéndose los datos:
(Caso (ℓ , ℓ , ℓ).)
Solución:
Considerando la figura 4.15 tenemos que los datos son a, b, c luego, a partir de ellos se consiguen los elementos restantes:
Fig. 4.15
Nota:
Como ejemplo, dejamos al lector resolver el caso numérico:
Respuesta: α = 28◦5′2.18″; β = 46◦46′4.34″; γ = 105◦8′53.48″.
Problema 4.3.22 Resolver el triángulo ABC teniéndose los datos:
(Caso (ℓ , ℓ , a>ℓ).)
