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Solución:
Considerando la figura 4.16 tenemos que los datos son a, b, α pero con a > b luego, a partir de ellos se consiguen los elementos restantes:
Fig. 4.16
Fig. 4.17
Fig. 4.18
Discusión.
(1) Si se tuviere bsen α > a, entonces 
o sea no se puede resolver y la explicación la vemos en la figura 4.17.
(2) bsen α = a ⇒ sen β = 1 ⇒ β = 90◦, lo que vemos en figura 4.18.
(3) bsen α < a ⇒ sen β < 1 ⇒ siempre hay solución.
(3.1) a < b ⇒ α < β ¡α no puede ser obtuso! Si α es agudo, entonces β puede ser agudo u obtuso.
(3.2) a = b ⇒ α = β, β no obtuso.
(3.3) a > b ⇒ α > β, β no obtuso.
A continuación veremos algunos ejemplos de este caso.
Ejemplo 4.3.1 Resolver el triángulo ABC con los datos a = 49, 3; b = 8, 7; α = 45◦10′.
Solución:
En esta situación se tiene 
Ejemplo 4.3.2 Resolver el triángulo ABC con los datos a = 37, 2; b = 51, 4; α = 41◦23′12″.
Solución:
En esta situación se tiene b > a ⇒ β > α, 2 soluciones: β1 agudo, β2 obtuso.
Ejemplo 4.3.3 Resolver el triángulo ABC con los datos a = 48; b = 83; α = 37◦23′42″.
Solución:
En esta situación se tiene:
¡no hay solución!
Problema 4.3.23 Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:
Solución:
Tenemos que:
Por otro lado, como:
de donde:
Luego el triángulo es equilátero.
Problema 4.3.24 Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:
Solución:
Sabemos que:
es decir:
pero en un triángulo ABC, por prostaféresis se obtiene :
De (1) y (2) el resultado se sigue.
Problema 4.3.25 Si los lados de un cuadrilátero ABCD son a, b, c, d respectivamente y θ es el ángulo formado por las diagonales, entonces el área del cuadrilátero es:
Fig. 4.19
Solución:
Observando la figura 4.19 tenemos que:
pero:
de donde:
por analogía:
por otro lado, tenemos:
o sea:
de donde:
por analogía:
de todo esto se obtiene:
Problema 4.3.26 Si los lados de un cuadrilátero inscriptible ABCD son a, b, c, d respectivamente y su perímetro es 2s = a + b + c + d, entonces su área está dada por:
Solución:
Observando la figura 4.20 donde ≮ CDA = δ y ≮ ABC = π − δ, resulta que:
de esto se desprende que:
y como:
se consigue:
de donde:
por lo tanto:
Fig. 4.20
Nota:
Este resultado se conoce como fórmula de Brahmagupta y veremos, en el problema resuelto [4.3.36], el caso más general , que es aquél en que el cuadrilátero convexo ABCD es cualquiera.
Problema 4.3.27 Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:
Solución:
(α + β = π − γ) ⇒ (tg (α + β) = tg (π − γ)), o sea:
y de ello se obtiene el resultado.
Problema 4.3.28 En la figura 4.21, el triángulo ABC es acutángulo, H es el ortocentro, HD = p, HE = q y HF = r (estos tres trazos están contenidos en las respectivas alturas), demostrar que:
Solución:
En la figura 4.21, resulta que:
en consecuencia, resulta:
por analogía:
De ello se obtiene:
Fig. 4.21
Recordando el problema anterior donde se demostró que en un triángulo ABC se cumple que:
y considerando los puntos (1) y (2) señalados con anterioridad, se consigue el resultado.
Problema 4.3.29 Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:
Solución:
Se tiene que α + β = π − γ, luego:
Problema 4.3.30 Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:
Solución:
Tenemos que:
Problema 4.3.31 Si α, β, γ son los ángulos de un triángulo ABC y además cos θ · (sen β + sen γ) = sen α , demostrar que:
Solución:
Utilizando el teorema de los senos llegamos a que:
Pero:
luego, tenemos:
resultando:
Por otro lado, obtenemos por medio de las fórmulas de Briggs, que:
De (1) y (2) obtenemos:
Problema 4.3.32 Si en un triángulo ABC se tiene que:
entonces el triángulo es rectángulo.
Solución:
Utilizando las fórmulas de prostaféresis, resulta:
de donde:
pero como α + β + γ = π se tiene 
y también se consigue 
luego:
o sea:
con lo que el triángulo es rectángulo.
Problema 4.3.33 Demostrar que en un triángulo ABC se tiene que:
Solución:
Es sencillo demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:
ahora por las fórmulas de Briggs se tiene que:
y, por analogía resultan:
por lo tanto, se consigue:
con lo que:
Problema 4.3.34 Se ve la cima de una cumbre desde tres puntos distintos A, B, C de modo que el ángulo de elevación desde los tres puntos es el mismo, digamos δ. Demostrar que la altura h de la cumbre con respecto al plano (A, B, C) está dada por:
donde a y α son elementos del triángulo ABC.
Solución:
Sea O el punto de proyección de la cima sobre el plano (A, B, C), luego se obtiene:
deducimos entonces que OA = OB = OC son radios de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC. Por tal motivo, se tiene que
y, por lo tanto, conseguimos:
Problema 4.3.35 Si en un triángulo ABC se cumple que:
entonces el triángulo es o bien isósceles o bien rectángulo.
Solución:
De:
obtenemos:
o mejor:
pero como:
resulta:
luego:
con lo que:
pero como α y β son ángulos interiores de un triángulo, se deduce que k = 0 o k = 1, por lo tanto, tenemos:
esto nos dice que el triángulo o bien es isósceles o bien es rectángulo.
Problema 4.3.36 Dado un cuadrilátero ABCD de lados AB = a, BC = b, CD = c, DA = d, perímetro 2s = a + b + c + d, ángulos interiores opuestos ≮ DAB = α, ≮ BCD = γ y δ = α + γ. Demostrar que el área de este cuadrilátero es:
Solución:
Considerando la figura 4.22 y utilizando el teorema del coseno referido a la diagonal BD, resulta:
Además, se tiene:
de donde:
Fig. 4.22
De las expresiones (1), (2) y (3) se obtiene:
por lo tanto, llegamos a:
o mejor:
pero:
de las expresiones (4) y (5) llegamos a:
con lo que finalmente:
Nota:
En el caso en que el cuadrilátero ABCD es inscriptible, o sea cuando δ = α + γ = π, vemos que se consigue la fórmula de Brahmagupta que ya encontramos en el problema resuelto [4.3.26].
Problema 4.3.37 Siendo a > 0, b > 0 y 0 < γ < π se pide factorizar la cantidad subradical de:
Solución:
Tenemos que:
pero:
y, con mayor razón se tiene:
luego 
por lo tanto, tenemos:
por lo que no hay ambigüedad de signo al extraer raíz y conseguimos:
Problema 4.3.38 En un triángulo ABC se pide resolver el siguiente sistema:
Solución:
Restando y sumando miembro a miembro ambas ecuaciones se consigue:
luego:
y, por lo tanto, se obtienen α = 45◦ y β = 30◦.
Problema 4.3.39 Si α, β y γ son los ángulos de un triángulo ABC y:
demostrar que alguno de los ángulos mide 120◦.
Solución:
Se tiene:
como:
luego:
Por lo tanto:
Así, si 
sea:
Si, por ejemplo, 
, de modo que α = 0◦ó 120◦ y la única posibilidad es α = 120◦, ya que α es ángulo de un triángulo. En consecuencia, α = 120◦ ó β = 120◦ ó γ = 120◦.
Nota:
Si α = 120◦, entonces cos 3α = cos 360◦ = 1 y luego β + γ = 60◦ y:
ya que 
Así, si α = 120◦, cualesquiera sean β y γ (agudos, con β + γ = 60◦) se tendrá que cos 3α + cos 3β + cos 3γ = 1. Por lo tanto, el problema es si y sólo si:
Problema 4.3.40 Determinar la distancia desde un punto accesible A a un punto inaccesible C.
Solución:
Tal como vemos en la figura 4.23 se toma otro punto accesible B con lo que se conoce la distancia AB y se miden los ángulos ≮ BAC = α y ≮ ABC = β del triángulo ABC que forman las visuales desde A y B al observar C. Podemos calcular ahora AC porque conocemos α, β y AB = c. Tenemos entonces el caso (a , ℓ , a); obteniéndose, como ya sabemos:
Fig. 4.23
Problema 4.3.41 Se necesita averiguar las distancias desde un punto accesible C a dos puntos inaccesibles A y B. Se sabe que hay un punto D colineal con C y con A , en el orden C − A − D y que dista 175 m. de A; también hay un punto E colineal con C y con B, en el orden C − B − E y que dista 225 m. de B. Además AB = 300 m. DB = 326 m. y DE = 488 m. Encontrar CA y CB.
Solución:
Considerando la figura 4.24, tenemos que en ΔABD:
Fig. 4.24
Ahora en ΔBDE, resulta
Ahora en ΔABC se tiene AB = 300, además:
con lo que:
luego:
4.4Problemas propuestos
1.Determinar el área del paralelogramo si sus lados adyacentes son 42 cm. y 32 cm. y forman un ángulo de 30◦.
2.Demostrar el teorema [4.2.1] en el segundo y tercer casos.
3.Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:
4.Demostrar el teorema [4.2.2].
5.Demostrar el teorema [8.2.3].
6.Si en un triángulo ABC a = 25, b = 39 y c = 40, encontrar las longitudes ta, tb y tc.
7.Demostrar el teorema [4.2.4].
8.Si en un triángulo ABC a = 25, b = 39 y c = 40, encontrar las longitudes ha, hb y hc.
9.Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:
10.Demostrar el teorema [4.2.5].
11.Si en un triángulo ABC a = 25, b = 39 y c = 40, encontrar las longitudes bα, bβ y bγ.
12.Demostrar el teorema [4.2.6].
13.Si en un triángulo ABC a = 13, b = 14 y c = 15, encontrar las longitudes r, ρ.
14.Demostrar el teorema [4.2.8].
15.Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:
16.Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:
17.Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:
18.Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:
19.Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:
20.Determinar el área del triángulo de lados a = 171 cm., b = 195 cm. y c = 204 cm.
21.Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:
22.En un paralelogramo los lados miden 2 cm. y 3 cm. respectivamente y el ángulo comprendido entre ellos es de 60◦. Demostrar que el ángulo formado por las diagonales es aproximadamente 64◦18′23.8″ .
23.Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:
24.Dos lados de un triángulo son a = 120 m. y b = 300 m. y el ángulo γ = 150◦, determinar el área del triángulo.
25.Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:
26.Si en el triángulo ABC se tiene ρa = 8, ρb = 12 y ρc = 24, encontrar las longitudes ha, hb y hc.
27.Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:
28.Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:
29.Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:
30.Dado un triángulo ABC cualquiera, demostrar que su área está dada por:
31.Resolver el triángulo ABC sabiendo que:
32.Resolver el triángulo ABC sabiendo que:
33.Resolver el triángulo ABC sabiendo que:
34.Resolver los triángulos ABC sabiendo que:
35.Determinar los valores de α tales que 0 < α < π que satisfacen:
36.Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:
37.Si los lados de un triángulo ABC están en progresión aritmética y si a es el menor, entonces:
38.Demostrar que en un triángulo ABC se tiene que:
39.Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:
40.Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:
41.Demostrar que en si un triángulo ABC se tiene que:
entonces el triángulo es isósceles.
42.Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:
43.Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:
44.Si el área de un triángulo ABC es 96 y los exradios son ρa = 8, ρb = 12 y ρc = 24, determinar a,b y c.
45.Dado un triángulo ABC, demostrar que los ángulos del respectivo triángulo órtico son 180◦ − 2α, 180◦ − 2β y 180◦ − 2γ.
46.Dado un triángulo ABC, demostrar que el área del respectivo triángulo órtico es:
47.Dado un triángulo ABC, demostrar que el inradio del respectivo triángulo órtico es 2r cos α cos β cos γ.
48.Dado un triángulo ABC, demostrar que los lados del respectivo triángulo órtico son a cos α, b cos β y c cos γ.
49.Dado un triángulo ABC, demostrar que el perímetro del respectivo triángulo órtico es 4rsen αsen βsen γ.
50.Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:
51.Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:
52.En un triángulo ABC resolver el sistema:
53.Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:
54.Sean α ángulo fijo y β ángulo variable de un triángulo ABC, se define la función real f mediante:
demostrar que f(β) es una función constante.
54.Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:
55.Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:
56.Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:
57.Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:
58.Demostrar que en un triángulo ABC se cumple que:
60.Dado el cuadrilátero convexo ABCD cuyas diagonales son AC = e y BD = f y el ángulo entre las diagonales mencionadas es δ, entonces el área del cuadrilátero es:
61.Dado el cuadrilátero inscriptible ABCD de lados AB = a, BC = b, CD = c, DA = d y cuyas diagonales son AC = e y BD = f y el ángulo entre las diagonales mencionadas es δ, entonces:
62.Dado el cuadrilátero circunscriptible ABCD de lados AB = a, BC = b, CD = c, DA = d, entonces el área del cuadrilátero es:
63.Dado el cuadrilátero inscriptible y circunscriptible ABCD cuyos lados son AB = a, BC = b, CD = c, DA = d, entonces el área del cuadrilátero es:
64.Un avión vuela con rapidez de 246,3 [km/h] en aire con calma. Si el viento sopla con rapidez de 43,5 [km/h] en dirección S 21◦ O y el avión tiene rumbo S 53◦ E, se pide determinar la magnitud de la rapidez del avión y su dirección.
65.Una persona camina por una carretera de sur a norte. Al comenzar su caminata ve a su derecha dos edificios, los que forman un ángulo de 60◦ con la persona en el vértice. El edificio que está más cerca hacia el norte la persona lo ve con un ángulo de 15◦ con respecto a la carretera; cuando ha caminado 50 km. vuelve su mirada hacia el sureste y ve que los edificios están alineados formando un ángulo de 60◦ con la carretera. Determinar la distancia entre los edificios.
4.5Respuestas capítulo 4
(1)672 m.2
(6)ta = 37, 47; tb = 27, 1; tc = 25, 94.
(8)ha = 12, 48; hb = 8; hc = 7, 8.
(11)bα = 35, 54; bβ = 25, 3; bγ = 24, 38.
(13)r = 8, 125; ρ = 4.
(20)15390 cm.2
(24)9000 m.2
(26)ha = 4; hb = 6; hc = 2, 4
(31)α = 34◦55′; b = 663, 9; c = 906, 2
(32)a = 1, 000056; β = 108◦12′26″; γ = 49◦27′34″
(33)α = 58◦24′43″; β = 48◦11′23″; γ = 73◦23′54″
(34)Caso ambiguo resultando:
c1 = 116; β1 = 50◦2′; γ1 = 97◦42′
c2 = 35, 72; β2 = 129◦58′; γ2 = 17◦46′
(35)
(52)α = 40◦12′10.68″, β = 59◦23′27.97″
(64)Aprox. 238 [km/h] y aprox. S 63◦ E.
(65)54,9 km.
Capítulo 5
VECTORES GEOMETRICOS
Ya sea tanto en el plano como en el espacio supondremos conocidos los conceptos de paralelismo como también el cumplimiento del V postulado de Euclides, o sea, se tienen las nociones de incidencia y de paralelismo y las nociones intuitivas de dirección y sentido. Partiremos con el concepto de vector geométrico. Tanto en el plano como en el espacio ya introducidos fijamos un punto O que llamaremos origen o punto inicial del vector. Escogemos, a continuación, un punto cualquiera P conocido como punto final del vector.
A la flecha 
la llamaremos vector 
El vector 
tiene magnitud OP y dirección de O hacia P.
Notas:
(1) Notemos que hay una correspondencia entre los puntos P y los vectores . Es decir, dado P hay un único vector y dado un vector exite un único punto P.
(2) Al vector que corresponde al origen le llamaremos vector 
(vector cero o nulo).
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