Читать книгу: «Trigonometría y geometría analítica», страница 6
Solución:
Caso (1) Debe excluirse el caso y1 · y2 = 1, ya que en esta situación se sabe que:
y sabemos que la función tangente tg no está definida en 
Caso (2) En esta situación tenemos y1 · y2 < 1 y se presentan varias opciones a saber:
(2.1) y1 ≥ 0, y2 ≤ 0, entonces:
por lo tanto resulta:
con lo que:
luego:
en conclusión:
(2.2) y1 ≤ 0, y2 ≥ 0 éste es similar al anterior.
(2.3) y1 > 0, y2 > 0, deberá tenerse que 
de esto se desprende que:
por lo tanto, nuevamente resulta:
en conclusión:
(2.4) y1 < 0, y2 < 0, deberá tenerse que 
de esto se desprende que:
por lo tanto, nuevamente tenemos:
en conclusión:
Caso (3) En esta situación tenemos y1 · y2 > 1 y se presentan dos opciones, a saber:
(3.1) y1 < 0, obligatoriamente y2 < 0, luego:
con lo que:
o sea estamos en el recorrido de la rama (Arctg)1, ya que siempre −π < Arctg y1 + Arctg y2 y por ( I ) sabemos 
se deduce entonces que:
de esto:
luego, por la observación hecha anteriormente, se obtiene:
es decir:
(3.2) Se deja a cargo del lector ejercitar la situación y1 > 0, obligatoriamennte y2 > 0.
Problema 3.5.17 Demostrar la identidad:
Solución:
Se tiene:
Problema 3.5.18 Si a > 1, demostrar la identidad:
Solución:
Se tiene:
Problema 3.5.19 Demostrar la identidad:
Solución:
Primero, si v = u, entonces:
Supongamos ahora u < v, entonces:
Si u > v, entonces:
Problema 3.5.20 Calcular la sumatoria:
Solución:
Se tiene que:
Problema 3.5.21 Calcular la sumatoria 
Solución:
Se tiene que:
luego:
Problema 3.5.22 Probar que:
Solución:
Tenemos:
Problema 3.5.23 Demostrar la identidad:
Solución:
En el problema resuelto [3.5.3] demostramos la identidad:
de ella se desprende la identidad:
con lo que:
y como:
resulta:
lo que se deseaba.
Problema 3.5.24 Resolver la ecuación:
Solución:
Se tiene:
Problema 3.5.25 Resolver la ecuación:
Solución:
Se tiene:
lo que muestra que no hay solución.
Problema 3.5.26 Resolver la ecuación:
Solución:
Se tiene:
luego:
así:
con ello:
y sólo es solución 
Problema 3.5.27 Resolver la ecuación:
Solución:
Se tiene:
y por inyectividad se consigue:
o sea :
de donde sen x = 0 no sirve, ya que | cos x| ≠ 1, luego:
Problema 3.5.28 Resolver la ecuación:
Solución:
Aquí hacemos:
Luego:
Problema 3.5.29 0 < a < 1 , 0 < b < 1, resolver en x:
Solución:
Es claro que:
Como también:
Con lo anterior el problema planteado pasa a ser:
Colocando: 
se consigue γ = β − α, con lo que se llega a:
es decir:
lo que implica:
cuyas soluciones son:
Problema 3.5.30 Resolver la ecuación:
Solución:
La ecuación planteada también se puede escribir:
de ella se desprende las ecuaciones:
(1)
(2)
Resolvamos la primera, la que también es:
con lo que:
luego:
con lo que las soluciones son:
Ahora pasaremos a resolver la segunda:
aquí se tiene:
luego:
con lo que las soluciones son:
Observando (3) y (4), tenemos que la solución general es:
Problema 3.5.31 Resolver la ecuación 2, 31 cos θ + 3, 25sen θ = 2, 33.
Solución:
Dibujamos ∆ABC rectángulo en C, con a = 3, 25; b = 2, 31 resultándonos c ≈ 3, 987304. Procedemos entonces a multiplicar la ecuación planteada por (3, 987304)−1, consiguiéndose:
o sea:
o mejor:
de donde:
y como α = 54◦35′45, 41″, obtenemos finalmente:
Nota:
Esta ecuación también se puede resolver con los métodos que se presentarán en el problema resuelto [3.5.43].
Problema 3.5.32 Resolver la ecuación:
Solución:
Sabemos que:
luego la ecuación planteada también se puede escribir:
luego, al ser el miembro izquierdo un cuadrado perfecto, resulta:
con lo que:
Problema 3.5.33 Resolver la ecuación 
Solución:
La ecuación, por prostaféresis se transforma en:
es decir:
de donde:
o también:
y de esto resulta:
Problema 3.5.34 Resolver la ecuación (1 − tg θ)(sen 2θ + 1) = 1 + tg θ·
Solución:
Es claro que:
Colocando este valor en la ecuación planteada obtenemos:
o mejor:
de donde:
con lo que:
resolviendo se obtiene:
y de esto se consigue:
Por último:
Problema 3.5.35 Resolver la ecuación:
Solución:
Esta ecuación se puede escribir también :
luego:
colocando j − 1 = k, resulta la solución:
Problema 3.5.36 Resolver la ecuación 4sen 4ϕ − 12sen ϕ cos2 ϕ − 7 cos2 ϕ + 9sen ϕ + 5 = 0 .
Solución:
La ecuación se puede escribir:
de donde:
como 
es solución racional de ella, se obtiene:
con ello:
(1)
(2)
(3)
de esto la primera no ofrece solución. La segunda:
Problema 3.5.37 Resolver la ecuación tg aθ = cot bθ .
Solución:
Se tiene:
con lo que::
de donde
Problema 3.5.38 Resolver la ecuación 
Solución:
La ecuación también es:
o sea:
de donde:
por lo tanto, resultan las raíces 
vemos que la primera no sirve, ya que supera a la unidad, luego:
Problema 3.5.39 Resolver la ecuación tg 3θ + cot3 θ = 8cosec 32θ + 12 .
Solución:
Se tiene:
luego, la ecuación queda:
lo que nos conduce a:
de donde:
Problema 3.5.40 Resolver la ecuación 3(1 − cos ν) = sen 2ν .
Solución:
La ecuación también puede escribirse:
(cuidado, no dividir la ecuación por 1 − cos ν), la ecuación pasa a ser:
con lo que la única opción es cos ν = 1 ⇒ ν = 2kπ , k ∈ Z .
Problema 3.5.41 Resolver la ecuación 
Solución:
La ecuación también puede escribirse:
o sea:
o también:
o mejor:
de donde:
La primera ecuación nos lleva a:
o sea:
Nota:
Esta primera ecuación también se puede resolver con los métodos que se presentarán en el problema resuelto [3.5.43].
La segunda ecuación nos conduce a sen 2 θ = 2 o sea, no tiene solución.
Problema 3.5.42 Resolver la ecuación sen 3ω = sen ω .
Solución:
La ecuación también puede escribirse:
luego, la primera nos lleva a:
y la segunda:
Problema 3.5.43 Resolver la ecuación cos 3ω − cos 2ω + cos ω = 0 .
Solución:
La ecuación también puede escribirse:
de donde cos 2ω(2 cos ω − 1) = 0, luego, tenemos:
como también:
Problema 3.5.44 Resolver la ecuación a sen θ + b cos θ = c . (a ≠ 0)
Solución:
Primer método.
Como a ≠ 0, multiplicamos la ecuación por a−1 obteniéndose:
colocando 
(nótese que α es conocido) así:
multiplicándola por cos α, resulta
de donde:
por lo tanto, resulta
La condición:
es equivalente con:
O sea, la ecuación tiene solución si y sólo si c2 ≤ a2 + b2.
Segundo método.
En la ecuación planteada reemplazamos cos θ y sen θ en términos de expresiones que contengan a 
o sea:
resultando:
ecuación de segundo grado en 
y con discriminante:
bajo esta condición:
con lo que:
como también:
Problema 3.5.45 Resolver la ecuación:
Solución:
Aplicando el primer método del problema anterior, llegamos a
fórmula que en ambos casos conduce a:
Problema 3.5.46 Resolver la ecuación sen θ − 8 cos θ = −4 .
Solución:
En este caso a = 1, b = −8 y c = −4; ahora ocuparemos el segundo método señalado en el problema resuelto [7.5.43], o sea, resolveremos la ecuación equivalente:
resultando:
con ello:
Problema 3.5.47 Resolver la ecuación atg θ + b cot θ = c .
Solución:
La ecuación también es:
con lo que:
en este caso es claro que c2 − 4ab ≥ 0. Por lo tanto, tenemos:
como también:
Problema 3.5.48 Resolver la ecuación 6tg θ − 2 cot θ = −1 .
Solución:
Resulta:
luego:
con ello:
Problema 3.5.49 Resolver la ecuación asen 2θ + bsen θ cos θ + c cos2 θ = d .
Solución:
Primer método.
Es claro que el primer miembro es homogéneo en sen θ, cos θ, para que el segundo miembro también lo sea lo multiplicamos por 1 = cos2 θ + sen 2θ, resultando:
y, multiplicando esta última por sec2 θ, resulta:
ecuación que ya sabemos resolver.
Segundo método.
Sabemos que 2sen 2θ = 1−cos 2θ, 2 cos2 θ = 1+cos 2θ, luego multiplicamos la ecuación planteada por 2 y luego hacemos los cambios señalados, obteniéndose:
ecuación que ya sabemos resolver.
Problema 3.5.50 Resolver la ecuación a(sen θ + cos θ) + bsen θ cos θ = c .
Solución:
Esta ecuación no cambia si se permutan sen θ y cos θ, por lo tanto es adecuado efectuar en ella el cambio 
, así:
y:
con lo que ecuación propuesta se transforma en:
ecuación que sabemos resolver.
Problema 3.5.51 Resolver los sistemas:
Solución:
El método de resolución es el mismo para todos, por lo que sólo entregaremos la solución del primero, o sea resolveremos:
la segunda ecuación se puede escribir:
aplicando la primera ecuación en este resultado llegamos a:
poniendo:
esto exige que:
o sea:
de donde:
Luego, obtenemos:
llegándose a los sistemas:
que producen los ángulos x e y.
Problema 3.5.52 Resolver los sistemas:
Solución:
El método de resolución es el mismo para todos, por lo que sólo entregaremos la solución del primero, o sea resolveremos:
la segunda ecuación se puede escribir:
y aplicando la primera, resulta:
luego deberá tenerse:
o sea:
bajo esta condición llegamos a:
y tenemos el problema resuelto.
Problema 3.5.53 Resolver los sistemas:
Solución:
El método de resolución es el mismo para todos, por lo que sólo entregaremos la solución del primero, o sea resolveremos:
la segunda ecuación se transforma en:
de donde:
β siempre existe, obteniéndose el sistema:
y tenemos el problema resuelto.
Problema 3.5.54 Resolver los sistemas:
Solución:
Resolvamos el primer sistema, o sea:
la segunda ecuación puede escribirse:
de donde:
y tenemos el problema resuelto, pero deberá tenerse:
o mejor:
el paréntesis se anula para:
Cuando tg α > 0, para que la desigualdad anterior se verifique, deberá tenerse:
Si tg α < 0 hay que considerar los valores de a interiores al intervalo abierto
de las raíces anteriores.
El segundo sistema se resuelve de la misma manera.
Resolvamos ahora el tercer sistema, es decir:
La segunda ecuación del sistema se puede escribir:
o sea:
ecuación que ya sabemos resolver.
Problema 3.5.55 Resolver los sistemas:
Solución:
Veamos el primer sistema:
se tiene:
llegándose al sistema:
este sistema es posible si:
Problema 3.5.56 Resolver los sistemas:
Solución:
Veamos el primer sistema, es decir:
la segunda ecuación de él también puede escribirse:
llegándose al sistema:
este sistema es posible si:
Problema 3.5.57 Resolver el sistema:
Solución:
Multiplicando la primera ecuación por 4ρ se consigue:
(note que ρ = 0 no satisface el sistema), luego:
por lo tanto, resulta 
y con este valor se obtiene 
de donde 
Problema 3.5.58 Resolver el sistema:
Solución:
Se tiene:
con lo que:
luego:
o sea:
por lo tanto, resulta:
y las otras por analogía.
Problema 3.5.59 Resolver la inecuación 
Solución:
La inecuación también es:
o sea:
observando la figura 3.13, tenemos que sirven los ángulos del arco 
, que en particular, resulta:
Fig. 3.13
y la solución general será:
o sea:
es decir todos los ángulos de los arcos 
que se obtienen haciendo k = 0 y k = 1.
Problema 3.5.60 Resolver la inecuación sen x + 2 cos x > 1 .
Solución:
Transformemos la inecuación en términos de 
o sea:
inecuación cuyas soluciones t verifican la desigualdad 
, luego, 
por lo tanto, los ángulos 
tienen su extremo en los arcos 
o 
que se presentan en la figura 3.14, es decir son de la forma:
donde tg 
es decir α = 18◦ 26′ 5.82″ ≡ 0.321750554 radianes , con ello la solución del problema son todos aquellos ángulos cuyo lado terminal está en el arco 
que se muestra en el segundo gráfico que aparece en la figura 8.14, es decir aquellos que cumplen con:
Fig. 3.14
Problema 3.5.61 Resolver la inecuación tg x + cos x > sec x .
