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Solución:
Primer método:
El primer miembro puede escribirse:
Segundo método:
Utilizando fórmula de prostaféresis en el primer miembro y, posteriormente, que cos 2θ = 1 − 2sen 2θ, se obtiene:
Problema 2.9.40 Demostrar que:
Solución:
Aplicaremos las fórmulas de prostaféresis y además que 1 + cos 2α = 2cos2α.
Problema 2.9.41 Demostrar que:
Solución:
Aplicaremos fórmulas de prostaféresis:
pero como, por hipótesis, 
se tiene 
como también 
luego:
Problema 2.9.42 Demostrar que:
Solución:
Aplicaremos las fórmulas de prostaféresis y que α + β = π − γ; se tiene:
Problema 2.9.43 Demostrar que:
Solución:
Aplicaremos las fórmulas de prostaféresis y que α + β = π − γ; se tiene:
Problema 2.9.44 Demostrar que:
Solución:
Aplicaremos las fórmulas de prostaféresis y que α + β = −γ; se tiene:
Problema 2.9.45 Calcular la sumatoria:
Solución:
Se tiene, al multiplicar la suma por 
y posteriormente aplicar fórmula de prostaféresis, que:
por lo tanto tenemos:
Problema 2.9.46 Sabiendo que 
calcular la sumatoria:
Solución:
Como se sabe que:
se obtiene:
colocando 
resulta:
entonces:
Problema 2.9.47 Sabiendo que tg β = cot β − 2 cot 2β y que 
calcular la sumatoria:
Solución:
Colocando 
según la indicación resulta:
por lo tanto:
y de ello:
Problema 2.9.48 Sabiendo que cosec 
calcular la sumatoria:
Solución:
Colocando β = 2k−1α, según la indicación resulta:
por lo tanto:
Problema 2.9.49 Calcular la sumatoria:
Solución:
Se sabe que sen 3α = 3sen α − 4sen 3α, de ello:
hagamos 
de ello:
con esto:
Luego:
Problema 2.9.50 Dado el sistema:
se pide eliminar el parámetro α.
Solución:
Resolviendo el sistema se consigue:
y como sen 2α + cos2 α = 1 se obtiene 
Problema 2.9.51 Dado el sistema:
se pide eliminar el parámetro α.
Solución:
A partir del sistema se consigue:
y como cos2α + sen2 α = 1, se obtiene 
Problema 2.9.52 Dado el sistema:
se pide eliminar el parámetro θ.
Solución:
Del sistema se deduce, al aplicar fórmulas de prostaféresis, que:
elevando al cuadrado las expresiones (1) y (2) y sumando los resultados se obtiene:
pero de (1), se consigue:
de donde:
de (3) y (4) obtenemos:
que es el resultado esperado.
2.10Problemas propuestos
1.Graficar las funciones:
(a) f(x) = sen x + 2 cos x
(b) f(x) = sen 3x + cos 2x
(c) f(x) = sen x + sen 2x
(d) f(x) = sen 2x + sen 3x
(e) f(x) = sen 3x − cos 2x
(f) f(x) = 2sen 3x + 3 cos 2x
2.Mediante las fórmulas de reducción, vistas en el párrafo [2.5], expresar en términos más simples:
3.Demostrar las identidades:
(a) tg α + cot α = sec αcosec α
(b) 1 − 2sen 2α = 2 cos2 α − 1
(c) sen α cos αcosec α sec α = 1
(f) cos4 α − sen4α = cos2 α − sen 2α
(i) sen α sec α cot α = 1
(j) cos α + tg αsen α = sec α
4.Comprobar que:
5.Calcular:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)Sabiendo que:
calcular:
6.Calcular el valor de:
7.Si sen 
, calcular:
8.Si sen 
, calcular:
9.Desde cada extremo de una base de longitud 2a la elevación angular de un monte es θ y desde el punto medio de tal base es ϕ. Demostrar que el monte mide:
10.Demostrar las identidades:
11.Una torre dista 40 metros desde la orilla más cercana de un río cuyo ancho es de 100 metros. Calcular la altura de la torre si desde la cúspide se observa el río bajo un ángulo de 30◦.
12.Demostrar que:
13.Demostrar que:
14.Demostrar:
15.Demostrar que:
16.Demostrar que:
(b)4 cos 18◦ − 3 sec 18◦ = 2tg 18◦
(c)cot 15◦ + cot 75◦ + cot 135◦ − cosec 30◦ = 1
(d)
(e)
(f)sen 33◦ + cos 63◦ = cos 3◦
(g)tg 20◦tg 40◦tg 80◦ = tg 60◦
17.Demostrar:
18.Demostrar que:
19.Demostrar que:
20.Demostrar que:
21.Demostrar que:
22.Demostrar que:
23.Demostrar que:
24.Demostrar que:
25.Demostrar que:
26.Demostrar que:
27.Demostrar que:
28.Demostrar que:
29.Demostrar que:
30.Demostrar que:
31.Demostrar que:
32.Demostrar que:
33.Demostrar que:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
34.Demostrar que al eliminar β entre las ecuaciones:
se obtiene:
35.Demostrar que al eliminar β entre las ecuaciones:
se obtiene:
36.Demostrar que al eliminar α y β entre las ecuaciones:
se obtiene:
37.Demostrar que:
siendo 
(lo que representa una suma de ondas de igual frecuencia en Física).
2.11Respuestas capítulo 2
(2)
(5)
(6)
(7)
(8)
(11)130,2 m. ó 43 m.
Capítulo 3
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS
El concepto de relación inversa de una función circular y, con posterioridad, el de función inversa de una función circular, es importante, ya que al considerar la función y = cos x podemos referirnos a y, el coseno de x, pero también es posible que el énfasis esté puesto en el número x, o sea, a aquel x cuyo coseno es y. Esto se presenta muy a menudo, razón por la que para señalar que x es un número cuyo coseno es y, esto es, la relación inversa de y = cos x se utiliza la notación especial:
Este simbolismo fue introducido, según se dice, por los matemáticos Daniel Bernouilli y Leonhard Euler en el año 1730.
Nota:
x = arccosy es el conjunto de aquellos x tales que y = cos x. Por lo tanto, un x determinado está en dicho conjunto; esto es lo que entendemos por la igualdad x = arccosy, no es una igualdad en el sentido lógico de igualdad.
En otras palabras tenemos la equivalencia siguiente:
En particular, si colocamos 
nos resulta:
Esta consideración anterior nos hace ver que si bien y = cos x es una función, la expresión x = arccosy define sólo a una relación; más precisamente, una relación en que a un apropiado valor de y, le corresponden infinitos valores de la variable x.
Por analogía, las restantes relaciones circulares inversas se deducen en forma similar y se simbolizan, respectivamente, mediante:
3.1Gráficos de las relaciones circulares inversas
En el párrafo [6.3] del capítulo anterior presentamos los gráficos de las funciones circulares y = cos x, y = sen x, etc. Nos detendremos, en particular, en el gráfico de y = cos x ya que los demás se deducen por analogía. El gráfico de y = cos x son los puntos (x, y) = (x, cos x) = (arccosy, y); por lo tanto, el gráfico es el mismo. Ahora bien, si efectuamos la transformación en el plano dada por (x, y) ←→ (y, x), el gráfico (x, y) = (arccosy, y) obtendremos el gráfico de y = arccosx. La transformación anterior es una simetría con respecto a la diagonal de ecuación y = x. Dicha simetría también se consigue si el gráfico de y = cos x (éste aparece en la figura 6.13); si teniendo el gráfico de y = cos x en papel transparente con el eje 
vertical y el eje 
horizontal damos vuelta el papel y lo rotamos 90◦ en el sentido horario, el resultado es el gráfico de y = arccosx que aparece en la figura 7.1. Los gráficos de y = arcsenx, y = arctgx, y = arccotx, y = arcsecx e y = arccosecx, se obtienen en forma similar y se ilustran en las figuras 3.2, 3.3, 3.4, 3.5 y 3.6, respectivamente.
Gráfico de:
Fig. 3.1
Fig. 3.2
Fig. 3.3
Fig. 3.4
Fig. 3.5
Fig. 3.6
3.2Funciones circulares inversas o valores principales
Comenzaremos recordando que si f es una función de A en B, entonces es una relación de A en B y por tal motivo tendrá relación inversa de B en A. A continuación presentaremos el conocido resultado que entrega la condición necesaria y suficiente para que la función f de A en B no sólo tenga relación inversa de B en A sino que función inversa de B en A, o sea, que f−1 : B → A será función (conocida como función inversa de f y simbolizada por f−1).
Teorema 3.2.1 Sea f : A → B función, entonces:
Problema 3.2.1 Sea 
la función definida por:
Demostrar que ella es biyectiva y encontrar la respectiva función inversa f−1 .
Solución:
Primero estableceremos que f es uno a uno. Pues bien, sean 
y tales que f(x1) = f(x2) o sea:
de donde:
o sea:
luego, f es inyectiva.
Ahora demostraremos que f es epiyectiva. Para ello sea 
así vemos que existe 
tal que f(x) = y debido a que:
de donde:
y, por lo tanto:
y, como: 
resulta:
o sea:
luego f es sobre.
Tenemos que f es biyectiva y de aquí su función inversa es:
Nota:
Tomando en consideración el resultado presentado en el teorema [3.2.1] (y restringiendo los dominios de las respectivas funciones trigonométricas o circulares) conseguiremos como aplicaciones a nuestro estudio los teoremas que presentaremos a continuación.
Teorema 3.2.2 La función cos : [0, π] → [−1, 1] es biyectiva, entonces su función inversa es:
Los gráficos respectivos de estas funciones, inversa una de otra, se presentan en la figura 3.7.
Fig. 3.7
Teorema 3.2.3 La función sen : 
es biyectiva, entonces su función inversa es Arcsen = 
Los gráficos respectivos de estas funciones, inversa una de otra, se presentan en la figura 3.8.
Fig. 3.8
Teorema 3.2.4 La función 
es biyectiva, entonces su función inversa es 
Definición 3.2.1 
Fig. 3.9
Nota:
Para encontrar concretamente los valores de Arccos x = INVCOS x (y por analogía las restantes), acudimos a la calculadora colocando primeramente x en la pantalla y, a continuación, apretando las teclas INV y COS.
Teorema 3.2.5 La función cot : (0, π) → R es biyectiva, entonces su función inversa es Arccot = cot−1 : R → (0, π)
Fig. 3.10
Teorema 3.2.6 La función 
es biyectiva, entonces su función inversa es:
Fig. 3.11
Teorema 3.2.7 La función 
es biyectiva, entonces su función inversa es:
Fig. 3.12
3.3Identidades con valores principales
En este apartado resumiremos las identidades fundamentales que se presentan con las funciones circulares inversas o valores principales.
Teorema 3.3.1 Para valores principales se tiene que:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
donde:
Este teorema se puede aplicar en el siguiente ejercicio:
Problema 3.3.1 Demostrar la identidad:
Solución:
Es claro que por la propiedad (3) se tendrá:
a su vez se tiene, a causa de las propiedades (1) y (3) que:
Luego, al considerar el primer miembro de la identidad planteada y producir los cambios propuestos resulta:
3.4Ecuaciones trigonométricas
Aquí resumiremos los teoremas que nos entregan las fórmulas que conducen a la resolución de ecuaciones trigonométricas
Teorema 3.4.1 Siendo y0 ∈ [−1, 1] un número fijo, se tiene que la solución de la ecuación cos x = y0 es:
(Donde Arccos y0 = x0.)
Teorema 3.4.2 Siendo y0 ∈ [−1, 1] un número fijo, se tiene que la solución de la ecuación sen x = y0 es:
(Donde Arcsen y0 = x0.)
Teorema 3.4.3 Siendo y0 ∈ R un número fijo se tiene que la solución de la ecuación tg x = y0 es:
(Donde Arctg y0 = x0.)
Teorema 3.4.4 Siendo y0 ∈ R un número fijo se tiene que la solución de la ecuación cot x = y0 es:
Teorema 3.4.5 Siendo y0 ∈ (−∞, −1]∪[1, ∞) un número fijo, se tiene que la solución de la ecuación sec x = y0 es:
Teorema 3.4.6 Siendo y0 ∈ (−∞, −1]∪[1, ∞) un número fijo, se tiene que la solución de la ecuación cosec x = y0 es:
Nota:
Si en las relaciones inversas se da un k fijo, se consigue una función que se llama rama de la relación inversa.
3.5Problemas resueltos
Problema 3.5.1 Demostrar la identidad:
Solución:
Se tiene:
Problema 3.5.2 Demostrar la identidad:
Solución:
Se tiene:
Problema 3.5.3 Demostrar la identidad:
Solución:
Se tiene:
Problema 3.5.4 Demostrar la identidad:
Solución:
Se tiene:
Problema 3.5.5 Demostrar la identidad:
Solución:
Se tiene:
Problema 3.5.6 Demostrar la identidad:
Solución:
Problema 3.5.7 Demostrar la identidad:
Solución:
Se tiene:
Problema 3.5.8 Demostrar la identidad:
Solución:
Se tiene:
Problema 3.5.9 Demostrar la identidad:
Solución:
Por un lado, tenemos:
y, por otra parte, resulta:
De (1) y (2) se obtiene el resultado.
Problema 3.5.10 Demostrar la identidad:
Solución:
Se tiene:
pero:
de estos dos resultados se deduce la identidad.
Problema 3.5.11 Demostrar la identidad:
Solución:
en consecuencia, se obtiene:
Problema 3.5.12 Demostrar la identidad:
Solución:
Sea x = Arcsen 
, de ello y = sen x. Como:
resulta:
Problema 3.5.13 Demostrar la identidad:
Solución:
Se tiene que:
con lo que:
lo que nos lleva a:
Problema 3.5.14 Demostrar la identidad:
Solución:
Sea x = Arccot y ∈ (0, π), de ello 
pero:
con esto se concluye que:
consiguiéndose:
Problema 3.5.15 Demostrar que:
Solución:
Sea y > 0, de ello 
y, en consecuencia:
de donde:
y como:
De (1) y (2) se deduce que:
Sea ahora y < 0, de ello x = Arctg 
y, en consecuencia:
de donde:
y como:
De (3) y (4) se deduce que:
Problema 3.5.16 Demostrar la identidad:
donde:
